Séance 18-1 : Produit vectoriel dans l'espace (Cours)

Mathématiques : 1Bac SM

Séance 18-1 : Produit vectoriel dans l'espace (Cours)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

I- Orientation de l'espace

1-1/ Trièdre

1-2/ Bonhomme d'ampère - Repère orienté de l'espace

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

2-2/ Interprétation géométrique du produit vectoriel

III- Propriétés du produit vectoriel

3-1/ Anti-symétrie du produit vectoriel

3-2/ Bilinéarité du produit vectoriel

3-3/ Expression analytique du produit vectoriel

IV- Applications du produit vectoriel

4-1/ Aire d'un triangle

4-2/ Équation d'un plan défini par trois points non alignés

4-3/ Intersection de deux plans de l'espace

4-4/ Distance d’un point à une droite

I- Orientation de l'espace

1-1/ Trièdre

Définition

Trois demi-droites $[O x)$ , $[O y)$ et $[O z)$ de même origine O et non coplanaires déterminent, dans cet ordre un trièdre que l’on le note $(O x; O y; O z)$ .

$[O x)$ , $[O y)$ et $[O z)$ sont appelées les arêtes du trièdre $(O x; O y; O z)$

1-2/ Bonhomme d'ampère - Repère orienté de l'espace

Définition

Soit $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ un repère de l'espace $E$ .

On pose : $\vec{O I} = \vec{i}$ et $\vec{O J} = \vec{j}$ et $\vec{O K} = \vec{k}$ .

- On dit que le repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est direct lorsque le trièdre $([O I); [O J); [O K))$ est direct.

- On dit que l’espace $E$ est orienté positivement lorsqu'il est muni d’un repère direct.

Proposition

Si le repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est orthonormal direct, alors :

1) Les repères $(O; \vec{j}; \vec{k}; \vec{i})$ et $(O; \vec{k}; \vec{i}; \vec{j})$ sont directs.

2) Les repères $(O; \vec{j}; \vec{i}; \vec{k})$ , $(O; \vec{k}; \vec{j}; \vec{i})$ et $(O; \vec{i}; \vec{k}; \vec{j})$ sont indirects.

3) Les repères $(O; - \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , $(O; \vec{i}; - \vec{j}; \vec{k})$ et $(O; \vec{i}; \vec{j}; - \vec{k})$ sont indirects.

Remarque

Soit $O$ un point quelconque de l’espace $E$ . Alors :

$(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est un repère direct $\Leftrightarrow$ La base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est directe.

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

Définition

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace orienté tels que $\vec{u} = \vec{O A}$ et $\vec{v} = \vec{O B}$ .

- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors le produit vectoriel des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , dans cet ordre, noté $\vec{u} \land \vec{v}$ , est le vecteur $\vec{w} = \vec{O C}$ défini par :

la droite $(O C)$ est perpendiculaire au plan $(O A B)$ ;
le trièdre $([O A); [O B); [O C))$ est direct ;
$||\vec{O C}|| = ||\vec{O A}|| \times ||\vec{O B}|| \times \sin θ$ où $θ = \hat{A O B}$

- Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors : $\vec{u} \land \vec{v} = \vec{0}$

Remarques

- Le produit vectoriel des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne dépend pas du choix du point $O$ .

- Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, tandis que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel.

- Si $\vec{w} = \vec{u} \land \vec{v}$ , alors $\vec{w} ⊥ \vec{u}$ et $\vec{w} ⊥ \vec{v}$ et $||\vec{w}|| = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times |\sin (\hat{\vec{u}; \vec{v}})|$ .

- Si $\vec{w} = \vec{u} \land \vec{v}$ , alors la base $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ est directe. En particulier, si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont unitaires et orthogonaux, alors $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ est une base orthonormée directe.

- Pour tout vecteur $\vec{u} \in V_{3}$ : $\vec{u} \land \vec{u} = \vec{0}$ et $\vec{u} \land \vec{0} = \vec{0}$

- Les points $A$ , $B$ et $C$ de l'espace $E$ sont alignés si, et seulement si : $\vec{A B} \land \vec{A C} = \vec{0}$

Applications

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l’espace orienté tels que $||\vec{u}|| = \sqrt{2}$ et $||\vec{u} \land \vec{v}|| = 4$ et $(\bar{\vec{u}; \vec{v}}) \equiv \frac{π}{4} [2 π]$ .

1)Calculer $||\vec{v}||$ .

Soit $\vec{a}$ et $\vec{b}$ deux vecteurs de l’espace orienté tels que $||\vec{a}|| = 4$ et $||\vec{b}|| = 9$ et $\vec{a} . \vec{b} = 18 \sqrt{3}$ .

Calculer $||\vec{a} \land \vec{b}||$ .

2-2/ Interprétation géométrique du produit vectoriel

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace orienté tels que $\vec{u} = \vec{O A}$ et $\vec{v} = \vec{O B}$ et $\vec{w} = \vec{u} \land \vec{v}$ .

Le réel $||\vec{w}|| = ||\vec{u} \land \vec{v}||$ est l'aire du parallélogramme construit sur les représentants $\vec{O A}$ et $\vec{O B}$ des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ .

En effet : $A H = O A \sin θ = ||\vec{u}|| \times |\sin (\hat{\vec{u}; \vec{v}})|$

Et l'aire du parallélogramme est : $O B \times A H = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times |\sin (\hat{\vec{u}; \vec{v}})|$

III- Propriétés du produit vectoriel

3-1/ Anti-symétrie du produit vectoriel

Proposition

Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l’espace orienté, on a : $\vec{v} \land \vec{u} = - \vec{u} \land \vec{v}$

On dit que le produit vectoriel est antisymétrique.

3-2/ Bilinéarité du produit vectoriel

Proposition

Soit $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l’espace orienté et $α$ un nombre réel.

Alors :

$1 \vec{u} \land (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \land \vec{v} + \vec{u} \land \vec{w} 2 (\vec{u} + \vec{v}) \land \vec{w} = \vec{u} \land \vec{w} + \vec{v} \land \vec{w} 3 \vec{u} \land (α \vec{v}) = (α \vec{u}) \land \vec{v} = α (\vec{u} \land \vec{v})$

On dit que le produit vectoriel est bilinéaire.

3-3/ Expression analytique du produit vectoriel

Proposition

L'espace $V_{3}$ est rapporté à une base orthonormée directe $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ .

Soit $\vec{u} (x; y; z)$ et $\vec{v} (x'; y'; z')$ deux vecteurs de l’espace $V_{3}$ .

Alors :

$\vec{u} \land \vec{v} = |\begin{matrix} y & y' \\ z & z' \end{matrix}| \vec{i} - |\begin{matrix} x & x' \\ z & z' \end{matrix}| \vec{j} + |\begin{matrix} x & x' \\ y & y' \end{matrix}| \vec{k}$

Applications

On considère les vecteurs : $\vec{u} = 2 \vec{i} - \vec{j}; \vec{v} = \vec{i} - \vec{j} + 2 \vec{k}; \vec{w} = \vec{j} + \vec{k}$

Déterminer, dans la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , les coordonnées de chacun des vecteurs $\vec{u} \land \vec{v}$ et $\vec{u} \land \vec{w}$ .

Dans l’espace $E$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ , on considère les points :

$A (1; 2; 3); B (0; - 1; 2); C (3; - 2; 1)$

Calculer $\vec{O A} \land \vec{B C}$ et $\vec{A B} \land \vec{B C}$ .

IV- Applications du produit vectoriel

4-1/ Aire d'un triangle

Proposition

Soit $A$ , $B$ et $C$ trois points non alignés de l’espace orienté $E$ .

L’aire du triangle $A B C$ est : $S_{A B C} = \frac{1}{2} ||\vec{A B} \land \vec{A C}||$

Applications

Calculer l’aire du triangle $A B C$ dans chacun des cas suivants :

$1 A (- 1; 2; 1); B (- 1; 0; 2); C (2; - 1; 0) 2 A (2; 1; - 1); B (0; 4; 1); C (3; 1; - 2)$

4-2/ Équation d'un plan défini par trois points non alignés

Proposition

Soit $A$ , $B$ et $C$ trois points non alignés de l’espace orienté $E$ .

On a : $M \in (A B C) \Leftrightarrow \vec{A M} . (\vec{A B} \land \vec{A C}) = 0$

Applications

On considère les deux points $E (3; - 1; 1)$ et $F (1; 0; 3)$ .

Déterminer une équation cartésienne du plan $(O E F)$ .

4-3/ Intersection de deux plans de l'espace

Proposition

Soit $P$ et $P'$ deux plans sécants suivant une droite $D$ dans l'espace orienté .

Si $\vec{n}$ est un vecteur normal de $P$ et $\vec{n'}$ est un vecteur normal de $P'$ , alors $\vec{n} \land \vec{n'}$ est un vecteur directeur de la droite d'intersection $D$ .

Applications

Déterminer l’intersection des plans $P$ et $P'$ dans chacun des cas suivants :

$1 P : x - y + 2 z + 3 = 0 e t P' : x + 2 y + 2 z - 1 = 0 2 P : 3 x - 4 y + 5 z + 7 = 0 e t P' : 2 x - 3 y - z - 4 = 0$

4-4/ Distance d’un point à une droite

Proposition

L'espace $E$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ .

Soit $D$ la droite passant par $A$ et dirigée parle vecteur $\vec{u}$ .

La distance d'un point $M$ de l’espace à la droite $D$ est donnée par : $d (M; D) = \frac{||\vec{A M} \land \vec{u}||}{||\vec{u}||}$

Applications

Calculer la distance du point $M$ à la droite $D$ dans chacun des cas suivants :

$1 M (3; 2; 1) e t D : \{\begin{matrix} x = 1 - t \\ y = 1 \\ z = 1 \end{matrix} (t \in ℝ) 2 M (3; - 1; 1) e t D : \{\begin{cases} x - y = 1 \\ y + z = 0 \end{cases}$

Retour

Séance 18-1 : Produit vectoriel dans l'espace (Cours)

Mathématiques : 1Bac SM

Séance 18-1 : Produit vectoriel dans l'espace (Cours)

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

Sommaire

I- Orientation de l'espace

1-1/ Trièdre

1-2/ Bonhomme d'ampère - Repère orienté de l'espace

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

2-2/ Interprétation géométrique du produit vectoriel

III- Propriétés du produit vectoriel

3-1/ Anti-symétrie du produit vectoriel

3-2/ Bilinéarité du produit vectoriel

3-3/ Expression analytique du produit vectoriel

IV- Applications du produit vectoriel

4-1/ Aire d'un triangle

4-2/ Équation d'un plan défini par trois points non alignés

4-3/ Intersection de deux plans de l'espace

4-4/ Distance d’un point à une droite

I- Orientation de l'espace

1-1/ Trièdre

Définition

I- Orientation de l'espace

1-2/ Bonhomme d'ampère - Repère orienté de l'espace

Définition

I- Orientation de l'espace

1-2/ Bonhomme d'ampère - Repère orienté de l'espace

Proposition

Remarque

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

Définition

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

Remarques

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-1/ Définition du produit vectoriel

Applications

II- Produit vectoriel de Deux vecteur

2-2/ Interprétation géométrique du produit vectoriel

III- Propriétés du produit vectoriel

3-1/ Anti-symétrie du produit vectoriel

Proposition

III- Propriétés du produit vectoriel

3-2/ Bilinéarité du produit vectoriel

Proposition

III- Propriétés du produit vectoriel

3-3/ Expression analytique du produit vectoriel

Proposition

III- Propriétés du produit vectoriel

3-3/ Expression analytique du produit vectoriel

Applications

IV- Applications du produit vectoriel

4-1/ Aire d'un triangle

Proposition

IV- Applications du produit vectoriel

4-1/ Aire d'un triangle

Applications

IV- Applications du produit vectoriel

4-2/ Équation d'un plan défini par trois points non alignés

Proposition

IV- Applications du produit vectoriel

4-2/ Équation d'un plan défini par trois points non alignés

Applications

IV- Applications du produit vectoriel

4-3/ Intersection de deux plans de l'espace

Proposition

IV- Applications du produit vectoriel

4-3/ Intersection de deux plans de l'espace

Applications

IV- Applications du produit vectoriel

4-4/ Distance d’un point à une droite

Proposition

IV- Applications du produit vectoriel

4-4/ Distance d’un point à une droite

Applications

Maroc

France

Plus