Séance 10-3 : Structures algébriques - Problème de synthèse

Sommaire

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

9-2/ Partie 2

IX- Problème de synthèse

9-1/ Partie 1

Soit $E=\mathrm{ℝ}-\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$

Pour tout $\left(a;b\right)\in E^2$, on pose : $a\perp b=a+b-ab\sqrt{2}$

1)Vérifier que pour tout $\left(a;b\right)\in E^2$ :

$a\perp b=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(a\sqrt{2}-1\right)\left(b\sqrt{2}-1\right)$

2. En déduire que $\perp$ est une loi de composition interne dans $E$.

3. Montrer que $\left(E;\perp \right)$ est un groupe commutatif.

IX- Problème de synthèse

9-2/ Partie 2

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau d’unité $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Soit $\mathcal{F}$ l’ensemble des matrices de ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$ qui s'écrivent sous la forme :

$M\left(a\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}-a& a\\ a& \sqrt{2}-a\end{array}\right) \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

On pose : $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

1. Vérifier que $A^2=-2A$ et $M\left(a\right)=I+\frac{a}{\sqrt{2}}A$.

2. Montrer que $\mathcal{F}$ est stable dans $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$.

On considère l'application :

$$\begin{gathered} \phi :\left(E;\perp \right)\to \left(\mathcal{F};\times \right) \\ a\mapsto \phi \left(a\right)=M\left(a\right) \end{gathered}$$

3. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme.

4. En déduire la structure de $\left(\mathcal{F};\times \right)$.