Séance 9-2-2 : Arithmétique dans Z - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

VI- Exercices II

6-1/ Exercice 2-1

6-2/ Exercice 2-2

6-3/ Exercice 2-3

6-4/ Exercice 2-4

VI- Exercices II

6-1/ Exercice 2-1

Soit $p$ un nombre premier .

1. Résoudre dans $\mathrm{\mathbb{Z}}/p^2\mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation : $x^2=\overline{0}$

2. Résoudre dans $\mathrm{\mathbb{Z}}/49\mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation : $x^2+\overline{8}x+\overline{16}=\overline{0}$

3. Résoudre dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation : $4x^2-2x-2\equiv 0 \left[3\right]$

VI- Exercices II

6-2/ Exercice 2-2

On considère dans ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^2$ l’équation $\left(E\right)$ suivante :

$\left(E\right) : 324x-245y=7$

1. Montrer que si $\left(x;y\right)$ est une solution de $\left(E\right)$, alors le nombre $x$ est divisible par $7$.

2. Résoudre l’équation $\left(E\right)$.

Soit $\left(x;y\right)$ une solution de $\left(E\right)$.

On pose : $d=x\wedge y$

3. Déterminer les valeurs possibles de $d$.

4. Déterminer les couples $\left(x;y\right)$ solutions de l’équation $\left(E\right)$ tels que : $x\wedge y=1$

VI- Exercices II

6-3/ Exercice 2-3

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

1. Montrer que : $n^7+6n\equiv 0 \left[7\right]$ et $n^7\equiv n \left[42\right]$

2. a- Montrer que : $n^5-n\equiv 0 \left[5\right]$

2. b- En déduire que : $n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)\equiv 0 \left[5\right]$

3. Montrer que : $n^2\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\equiv 0 \left[60\right]$

VI- Exercices II

6-4/ Exercice 2-4

Les questions suivantes sont indépendantes.

Soit $N\in \mathrm{\mathbb{N}}$ tel que : $N={\overline{52}}_p$ et $N={\overline{42}}_q$.

1. Déterminer les valeurs de $p$ et $q$.
2. Déterminer les entiers naturels $\alpha$, $\beta$ et $b$ tels que : ${\overline{\beta \beta \beta }}_{\left(b\right)}={\overline{\alpha \alpha }}_{\left(2\right)}$

On considère les nombres suivants : $x={\overline{236}}_{\left(8\right)}$ et $y={\overline{347}}_{\left(8\right)}$

3. Calculer : $x+y$ et $x\times y$

Soit $b$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$ tel que : ${\overline{45}}_{\left(b\right)}+{\overline{36}}_{\left(b\right)}={\overline{103}}_{\left(b\right)}$

4. Calculer : ${\overline{45}}_{\left(b\right)}\times {\overline{36}}_{\left(b\right)}$
5. Représenter le nombre ${\overline{4523}}_{\left(8\right)}$ dans le système de numération binaire.