Séance 7-3 : Calcul intégral - Problème de synthèse

Sommaire

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

7-2/ Partie 2

VII- Problème de synthèse

7-1/ Partie 1

On considère la fonction numérique $f_n$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=\frac{e^{-x}}{x}$

1. Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes de son domaine de définition.
2. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) e^x\ge x+1$
3.  Étudier les variations de la fonction $f$.

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

4. Étudier les branches infinies de la courbe $\mathcal{C}$.
5. Tracer la courbe $\mathcal{C}$.

VII- Problème de synthèse

7-3/ Partie 2

On considère la fonction $F$ définie sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ par :

$\left\{\begin{array}{l}F\left(x\right)={\int }_{x^2}^{4x^2}f\left(t\right)dt \left(x>0\right)\\ F\left(0\right)=2\ln 2\end{array}\right.$

1. a- Vérifier que : ${\int }_{x^2}^{4x^2}\frac{1}{t}dt=2\ln 2$

1. b- En utilisant le résultat de la question 2 de la partie 1, montrer que : $\left(\forall t>0\right) -t\le e^{-t}-1\le 0$

2. a- Montrer que : $\left(\forall x>0\right) -3x^2\le F\left(x\right)-2\ln 2\le 0$

2. b- En déduire que la fonction $F$ est continue et dérivable à droite en zéro.

3. a- Montrer que : $\left(\forall t\ge 1\right) f\left(t\right)<e^{-t}$

3. b- En déduire la limite suivante : $\underset{x\to +\infty }{\lim }F\left(x\right)$

4. a- Montrer que $F$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty [$, puis calculer $F\text{'}\left(x\right)$.

4. b- Dresser le tableau des variations de $F$.

4. c- Construire ${\mathcal{C}}_f$, la courbe représentative de $F$ dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

Soit $G$ la fonction numérique définie sur $]0;+\infty [$ par : $G\left(x\right)={\int }_x^{4x}{e}^{-t}\ln \left(t\right)dt$

5. Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty [$ : $G\left(x\right)=F\left(\sqrt{x}\right)-e^{-4x}\ln \left(4x\right)+e^{-x}\ln \left(x\right)$

6. Calculer la limite : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(e^{-x}-e^{-4x}\right)\ln x$

7. En déduire la limite : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }G\left(x\right)$