Séance 4-3 : Fonctions logarithmiques - Problème de synthèse

Sommaire

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1 : Existence et unicité d'une racine positive $x$ de $\left(E_n\right)$

5-2/ Partie 2 : Étude de la fonction auxiliaire $f$

5-3/ Partie 3 : Étude de la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$

V- Problème de synthèse

5-1/ Partie 1 : Existence et unicité d'une racine positive $x$ de $\left(E_n\right)$

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, on considère l'équation sur $\mathrm{ℝ}*$ : $\left(E_n\right):x^n+x-1=0$

On étudiera $\left(E_n\right)$ à l'aide de la fonction auxiliaire $f$ : $f\left(x\right)=\frac{\ln \left(1-x\right)}{\ln x}$

1. Résoudre l’équation pour $n=1$ et $n=2$.

2. Étudier les variations de la fonction numérique $x\mapsto x^n+x-1$ sur $[0;+\infty [$ pour $n\ge 1$.

3. En déduire que l’équation $\left(E_n\right)$ admet une et une seule racine positive qu'on notera $x_n$, et montrer que $0<x_n<1$.

V- Problème de synthèse

5-2/ Partie 2 : Étude de la fonction auxiliaire $f$

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et les limites de $f$ aux extrémités de celui-ci.
2. Calculer alors $f\text{'}\left(x\right)$ et en déduire le tableau de variations de $f$.

V- Problème de synthèse

5-3/ Partie 3 : Étude de la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$

1. Montrer que $f\left(x_n\right)=n$ pour tout $n\ge 1$.
2. Montrer que la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$ est strictement croissante.
3. En déduire la convergence de la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$.
4. Préciser la valeur de la limite de la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 1}$.