Séance 1-1-1 : Limites et continuité - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Limites d’une fonction en un point

1-1/ Rappels et compléments

1-2/ Unicité de la limite

1-3/ Limites des fonctions usuelles

1-4/ Opérations sur les limites

I- Limites d’une fonction en un point

1-1/ Rappels et compléments

Définition 1

Soit $f$ une fonction numérique telle que $\left(\exists r>0\right) ; ]x_0-r,x_0+r[-\left\{x_0\right\}\subset D_f$ et $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$.

On dit que la limite de $f$ en $x_0$ est $\mathcal{l}$, ou encore, $f\left(x\right)$ tend vers $\mathcal{l}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ , si :

$\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists \alpha >0\right) \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x-x_0\right|<\alpha \Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)$

On écrit : $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

I- Limites d’une fonction en un point

1-1/ Rappels et compléments

Application

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x+1}$

1. Montrer que pour tout $x\in ]0;2[$ : $\left|f\left(x\right)-\frac{3}{2}\right|\le \frac{1}{2}\left|x-1\right|$

2. En utilisant la définition, montrer que $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\frac{3}{2}$

I- Limites d’une fonction en un point

1-2/ Unicité de la limite

Proposition 1

Si la limite d'une fonction numérique $f$ existe en un point, alors elle est unique.

Preuve

I- Limites d’une fonction en un point

1-3/ Limites des fonctions usuelles

Proposition 2

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales et $x_0\in \mathrm{ℝ}$.

Alors :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=P\left(x_0\right) \\ \overline{)2} Q\left(x_0\right)\ne 0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P\left(x_0\right)}{Q\left(x_0\right)} \\ \overline{)3} \underset{x\to x_0}{\lim }\sin x=\sin x_0 \\ \overline{)4} \underset{x\to x_0}{\lim }\cos x=\cos x_0 \\ \overline{)5} x_0\ne \frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\tan x=\tan x_0 \\ \overline{)6} x_0\ge 0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{x_0} \\ \overline{)7} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1 ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

I- Limites d’une fonction en un point

1-4/ Opérations sur les limites

Proposition 3

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $x_0\in \mathrm{ℝ}$.

Si $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ et $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\mathcal{l}\text{'}$, alors :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f+g\right)\left(x\right)=\mathcal{l}+\mathcal{l}\text{'} \\ \overline{)2} \underset{x\to x_0}{\lim }\left(f.g\right)\left(x\right)=\mathcal{l}.\mathcal{l}\text{'} \\ \overline{)3} \mathcal{l}\text{'}\ne 0\Rightarrow \underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{g}\right)\left(x\right)=\frac{1}{\mathcal{l}\text{'}} et \underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{\mathcal{l}}{\mathcal{l}\text{'}} \end{gathered}$$