الرياضيات للشعب العلمية والتكنولوجية 2016 الدورة العادية: التصحيح

الشعبة :	العلوم التجريبية	السنة :	2016
المسلك :	العلوم الفيزيائية	الدورة :	العادية
المادة :	الرياضيات	المدة :	3 ساعات

التمرين الأول: المتتاليات العددية

$\boxed{1}$ لیكن $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$ لدينا:

$$\begin{gathered} u_{n+1}-3=\frac{3+u_n}{5-u_n}-3 \\ {u}_{n+1}-3=\frac{3+u_n-15+3u_n}{5-u_n} \\ {u}_{n+1}-3=\frac{4u_n-12}{5-u_n} \\ \boxed{u_{n+1}-3=\frac{4\left(u_n-3\right)}{2+\left(3-u_n\right)}} \end{gathered}$$

* بين بالترجع أن $u_n<3$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$n=0\Rightarrow u_0=2<3$

لیكن $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

نفترض أن $u_n<3$ ولنبين أن $u_{n+1}<3$

لدينا

$u_{n+1}-3=\frac{4\left(u_n-3\right)}{2+\left(3-u_n\right)}$

ولدينا

 $$\begin{gathered} u_n<3 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}4\left(u_n-3\right)<0\\ 2+\left(3-u_n\right)>0\end{array}\right. \\ \Rightarrow \frac{4\left(u_n-3\right)}{2+\left(3-u_n\right)}<0 \\ \Rightarrow u_{n+1}-3<0 \\ \Rightarrow u_{n+1}<3 \end{gathered}$$

الخلاصة:

$\boxed{\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_n<3}$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ لدينا

$$\begin{gathered} v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{3-u_{n+1}} \\ {v}_{n+1}=\frac{{\displaystyle \frac{3+u_n}{5-u_n}}-1}{3-\frac{3+u_n}{5-u_n}} \\ {v}_{n+1}=\frac{3+u_n-5+u_n}{15-3u_n-3-u_n} \\ {v}_{n+1}=\frac{2u_n-2}{-4u_n+12} \end{gathered}$$

أي

$$\begin{gathered} v_{n+1}=\frac{1}{2}\frac{u_n-1}{3-u_n} \\ \boxed{v_{n+1}=\frac{1}{2}{v}_n} \end{gathered}$$

إذن $v_n$ متتالیة ھندسیة أساسھا $\frac{1}{2}$

ولدينا $v_0=\frac{u_0-1}{3-u_0}=1$

الخلاصة:

$\boxed{\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) v_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n}$

$\boxed{ب}$ لیكن $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$$\begin{gathered} v_n=\frac{u_n-1}{3-u_n} \\ \Rightarrow 3v_n-v_n{u}_n=u_n-1 \\ \Rightarrow u_n+v_n{u}_n=3v_n+1 \\ \Rightarrow u_n\left(1+v_n\right)=3v_n+1 \\ \Rightarrow \boxed{u_n=\frac{1+3v_n}{1+v_n}} \end{gathered}$$

لنكتب $u_n$ بدلالة $n$

لدينا 

$$\begin{gathered} u_n=\frac{1+3v_n}{1+v_n} \\ \boxed{u_n=\frac{1+3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n}{1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}} \end{gathered}$$

$\boxed{ج}$ لدينا

$$\begin{gathered} -1<\frac{1}{2}<1 \\ \Rightarrow \underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0 \\ \Rightarrow \boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=1} \end{gathered}$$

التمرين الثاني: الهندسة الفضائية

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ لدينا $\overrightarrow{AB}\left(1,0,-1\right)$ و$\overrightarrow{AC}\left(0,1,-2\right)$

إذن

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 2\end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& -2\end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\overrightarrow{k} \\ \boxed{\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}} \end{gathered}$$

 

$\boxed{ب}$ لدينا $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ منظمية على $\left(ABC\right)$

إذن معادلة المستوى $\left(ABC\right)$ تكتب على شكل $2x+2y+z+d=0$

ولدينا $A\in \left(ABC\right)$ إذن $4+2+3+d=0\Rightarrow d=-9$

الخلاصة:  $2x+2y+z-9=0$ هي معادلة ديكارتية للمستوى $\left(ABC\right)$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ لتكن $M\left(x,y,z\right)$ نقطة من الفضاء

لدينا 

$$\begin{gathered} M\in \left(S\right) \\ \iff \left(x^2-2x\right)+\left(y^2+2y\right)+z^2=34 \\ \iff {\left(x-1\right)}^2-1+{\left(y+1\right)}^2-1+z^2=34 \\ \iff {\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+z^2=36 \end{gathered}$$

الخلاصة: مركز الفلكة $\left(S\right)$ هو النقطة $\Omega \left(1,-1,0\right)$ وشعاعها هو $6$

$\boxed{ب}$ لدينا

$d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|2\times 1+2\times \left(-1\right)+0-9\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=3$

وبما أن $d\left(\Omega ,\left(ABC\right)\right)<6$ فإن المستوى $\left(ABC\right)$ يقطع الفلكة $\left(S\right)$ وفق دائرة $\left(\Gamma \right)$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ لدينا $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ منظمية على $\left(ABC\right)$

بما أن $\left(\Delta \right)\perp \left(ABC\right)$ فإن $\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}$ موجهة للمستقيم $\left(\Delta \right)$

ولدينا $\Omega \in \left(\Delta \right)$

إذن التمثيل البارامتري للمستقيم $\left(\Delta \right)$ هو

$\boxed{\left(\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1+2t\\ z=t\end{array}\right) \left(t\in \mathrm{ℝ}\right)}$

$\boxed{ب}$  مركز الدائرة $\left(\Gamma \right)$ هو المسقط العمودي للنقطة $\Omega$ على المستوى $\left(ABC\right)$، أي نقطة تقاطع $\left(ABC\right)$ و$\left(\Delta \right)$

بتعویض إحداثیات $B$ في التمثیل البارامیتري للمستقیم $\left(\Delta \right)$ نجد:

$$\begin{gathered} \left(\begin{array}{c}3=1+2t\\ 1=-1+2t\\ 1=t\end{array}\right) \\ \Rightarrow t=1 \\ \Rightarrow B\in \left(\Delta \right) \end{gathered}$$

ولدينا $B\in \left(ABC\right)$

الخلاصة:

$\boxed{\left(\Delta \right)\cap \left(ABC\right)=\left\{B\right\}}$

التمرين الثالث: الأعداد العقدية

$\boxed{1}$ مميز المعادلة $z^2-4z+29=0$ هو

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\times 1\times 29=-100$

إذن للمعادلة حلان مترافقان هما:

$\left\{\begin{array}{l}{z}_1=\frac{4-i\sqrt{100}}{2}=2-5i\\ z_2=\overline{z_1}=2+5i\end{array}\right.$

الخلاصة:

$\boxed{S=\left\{2-5i,2+5i\right\}}$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ لدينا

$$\begin{gathered} u=b-\omega \\ u=5+8i-\left(2+5i\right) \\ \boxed{u=3+3i} \end{gathered}$$

ومنه

$$\begin{gathered} \left|u\right|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2} \\ \Rightarrow u=3\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\ \Rightarrow u=3\sqrt{2}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}+i.\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ \Rightarrow \boxed{arg\left(u\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \left[2\mathrm{\pi }\right]} \end{gathered}$$

$\boxed{ب}$ بما أن $\overline{u}$ مرافق $u$ فإن

$arg\left(\overline{u}\right)=-\frac{\mathrm{\pi }}{4} \left[2\mathrm{\pi }\right]$

$\boxed{ج}$ لدينا $a-\omega =\left(5+2i\right)-\left(2+5i\right)=3-3i=\overline{u}$

ولدينا $\Omega A=\left|a-\omega \right|=\left|u\right|$ و$\Omega A=\left|b-\omega \right|=\left|\overline{u}\right|=\left|u\right|$

إذن

$\boxed{\Omega A=\Omega B}$

ولدينا

$$\begin{gathered} arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv arg\left(\frac{u}{\overline{u}}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv arg\left(u\right)-arg\left(\overline{u}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{4}-\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \left[2\mathrm{\pi }\right] \\ \boxed{arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]} \end{gathered}$$

$\boxed{د}$ لدينا

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\Omega A=\Omega B\\ arg\left(\frac{b-\omega }{a-\omega }\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\Omega A=\Omega B\\ \widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A},\overrightarrow{\Omega B}\right)}\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{2} \left[2\mathrm{\pi }\right]\end{array}\right. \end{gathered}$$

وبالتالي صورة النقطة $A$ بالدوران $R$ الذي مركزه $\Omega$ وزاويته $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ هي النقطة $B$

التمرين الرابع: حساب الاحتمالات

$\boxed{1}$ نسحب عشوائيا وفي آن واحد كرتين من الصندوق

إذن كل نتیجة للتجربة ھي تأليفة لعنصرین من بین $10$ عناصر ومنه

$card\omega =C_{10}^2=\frac{10\times 9}{2\times 1}=45$

الحدث $A$ : “الكرتان المسحوبتان حمراوان”

إذن

$card A=C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$

الخلاصة:

$p\left(A\right)=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$

$\boxed{2}$ ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين

$\boxed{أ}$ قيم $X$ هي:

• $2$ عند سحب كرتين حمراوتين
• $3$ عند سحب كرة حمراء وكرة خضراء
• $4$ عند سحب كرتين خضراوتين

إذن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي $X$ هي $\left\{2,3,4\right\}$

$\boxed{ب}$ الحدث $\left\{X=3\right\}$ يعني سحب كرة حمراء وكرة خضراء

إذن

$card\left(X=3\right)=C_4^1.C_6^1=24$

ومنه

$p\left(X=3\right)=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$

ولدينا $p\left(X=2\right)=p\left(A\right)=\frac{2}{15}$ و $p\left(X=4\right)=\frac{C_6^2}{45}=\frac{15}{45}=\frac{5}{15}$

الخلاصة: قانون احتمال $X$ هو

$4$	$3$	$2$	$x_i$
$\frac{5}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$	$P\left(X=x_i\right)$

مسألة: دراسة دالة عددية وحساب التكامل

$\boxed{I}$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ لدينا $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$ 

إذن

$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }(2x-2)=-\infty }$

$\boxed{ب}$ لدينا

 $$\begin{gathered} A=\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)-(2x-2) \\ A=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(e^{2x}-4e^x\right) \\ A=\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x\left(e^x-4\right) \\ A=0 \end{gathered}$$

إذن المستقيم $\left(D\right)$ الذي معادلته $y=2x-2$ مقارب للمنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ بجوار $-\infty$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ لدينا $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$

إذن

$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty }$

$\boxed{ب}$ لدينا

 $$\begin{gathered} B=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x} \\ B=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2-\frac{2}{x}+\frac{e^x}{x}\left(e^x-4\right)\right) \\ B=+\infty \end{gathered}$$

هندسيا $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يقبل فرعا شلجميا في إتجاه محور الأراتيب بجوار $+\infty$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ لیكن $x$ من $\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=2+2e^2-4e^x \\ f\text{'}\left(x\right)=2{\left(e^{2x}-2e^x+1\right)}^2 \\ \boxed{f\text{'}\left(x\right)=2{\left(e^x-1\right)}^2} \end{gathered}$$

$\boxed{ب}$ لدينا $\forall x\in \mathrm{ℝ}, f\text{'}\left(x\right)\ge 0$

ولدينا $f\text{'}\left(x\right)=0\iff e^x=1\iff x=0$

جدول التغیرات:

$\boxed{ج}$ الدالة $f$ متصلة وتزايدية قطعا على $]1,\ln 4[$

إذن المعادلة $f\left(x\right)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في $]1,\ln 4[$ حسب مبرهنة القيم الوسطية

ومنه يوجد عدد حقيقي وحيد $\alpha$ من المجال $]1,\ln 4[$ بحيث $f\left(\alpha \right)=0$

$\boxed{4}$

$\boxed{أ}$ لیكن $x$ من $\mathrm{ℝ}$

لدينا $f\left(x\right)-\left(2x-2\right)=e^{2x}-4e^x=e^x\left(e^x-4\right)$

وبما أن $e^x>0$ فإن إشارة $f\left(x\right)-\left(2x-2\right)$ هي إشارة $\left(e^x-4\right)$

ولدينا $e^x-4>0\iff x>\ln 4$

إذن $\forall x\in ]-\infty ,\ln 4[, f\left(x\right)<\left(2x-2\right)$

وبالتالي $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يوجد فوق المستقيم $\left(D\right)$ على المجال $]\ln 4,+\infty [$

ولدينا $e^x-4<0\iff x<\ln 4$

إذن  $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يوجد تحت المستقيم $\left(D\right)$ على المجال $]-\infty ,\ln 4[$

$\boxed{ب}$ لدينا $\forall x\in \mathrm{ℝ}, f"\left(x\right)=4\left(e^x-1\right)e^x$

ولدينا

$f"\left(0\right)=0$ و $\left\{\begin{array}{l}x>0\Rightarrow f"\left(x\right)>0\\ x<0\Rightarrow f"\left(x\right)<0\end{array}\right.$

بما أن $f"\left(x\right)$ تنعدم في $0$ مع تغير إشارتها فإن $I\left(0,-5\right)$ نقطة انعطاف $\left({\mathcal{C}}_f\right)$

$\boxed{ج}$ إنشاء $\left({\mathcal{C}}_f\right)$

 

$\boxed{5}$

$\boxed{أ}$ لدينا

 $$\begin{gathered} A={\int }_0^{\ln 4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx \\ A={\left[\frac{e^{2x}}{2}-4e^x\right]}_0^{\ln 4} \\ A=\left(\frac{e^{2\ln 4}}{2}-4e^{\ln 4}\right)-\left(\frac{1}{2}-4\right) \\ A=\left(8-16\right)+\frac{7}{2} \\ A=-8+\frac{7}{2}=-\frac{9}{2} \\ \boxed{{\int }_0^{\ln 4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx=-\frac{9}{2}} \end{gathered}$$

$\boxed{ب}$ المساحة $S$ هي:

$$\begin{gathered} S={\int }_0^{\ln 4}\left|f\left(x\right)-\left(2x-2\right)\right|dx \\ S={\int }_0^{\ln 4}\left|e^{2x}-4e^x\right|dx \\ S={\int }_0^{\ln 4}\left|e^x\left(e^x-4\right)\right|dx \\ S={\int }_0^{\ln 4}-e^x\left(e^x-4\right)dx \left(e^x\le 4\right) \\ \boxed{S={\int }_0^{\ln 4}\left(e^{2x}-4e^x\right)dx \left[c{m}^2\right]} \end{gathered}$$

$\boxed{II}$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ المعادلة المميزة ب $\left(E\right)$ هي: $r^2-3r+2=0$

لدينا

$$\begin{gathered} \Delta ={\left(-3\right)}^2-4\times 1\times 2=1 \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{r}_1=\frac{3-1}{2}=1\\ r_2=\frac{3+1}{2}=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

إذن حلول $\left(E\right)$ هي الدوال المعرفة بما يلي: $x\mapsto \alpha e^x+\beta e^{2x} \left(\alpha ,\beta \in \mathrm{ℝ}\right)$

$\boxed{ب}$ ليكن $g$ حل المعادلة $\left(E\right)$ الذي يحقق الشرطين $g\left(0\right)=-3$ و$g\text{'}\left(0\right)=-2$

لدينا

$$\begin{gathered} \left(\exists \left(\alpha ,\beta \right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right)\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right): g\left(x\right)=\alpha e^x+\beta e^{2x} \\ \Rightarrow \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right): g\text{'}\left(x\right)=\alpha e^x+2\beta e^{2x} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}g\left(0\right)=\alpha +\beta =-3\\ g\text{'}\left(0\right)=\alpha +2\beta =-2\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\alpha =-4\\ \beta =1\end{array}\right. \end{gathered}$$

الخلاصة:

$\boxed{\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right): g\left(x\right)=-4e^x+e^{2x}}$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$ الدالة $x\mapsto e^{2x}-4e^x$ قابلة للاشتقاق على $]\ln 4,+\infty [$

ولدينا $\forall x\in ]\ln 4,+\infty [ ; e^{2x}-4e^x>0$

إذن الدالة $h\left(x\right)=\ln \left(e^{2x}-4e^x\right)$ قابلة للاشتقاق على $]\ln 4,+\infty [$ ومشتقتها هي:

$\forall x\in ]\ln 4,+\infty [ ; h\text{'}\left(x\right)=\frac{2e^{2x}-4e^x}{e^{2x}+4e^x}=2\frac{e^x-2}{e^x-4}$

بما أن $x>\ln 4$ فإن $e^x-2>0$ و $e^x-4>0$ أي $h'x> Retour Maroc Primaire Collège Lycée France Primaire Collège Lycée Plus Prépas CPGE Divertissement Vocabulaire Connexion S'inscrire CGU CGV Contact © 2026 AlloSchool. Tous droits réservés. × Rechercher Rechercher Rechercher Fermer $