Séance 10-1-1 : Limite d'une fonction numérique - Partie 1 (Cours)

Sommaire

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-1/ Fonction définie au voisinage d'un nombre réel

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

1-3/ Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-4/ Limite de quelques fonctions usuelles en un point

1-5/ Limite à droite - Limite à gauche

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-1/ Limite infinie d'une fonction numérique en zéro

2-2/ Limite infinie d'une fonction numérique en un point

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-1/ Limite nulle d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-2/ Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

IV- Limite infinie d'une fonction en $+\infty$ et $-\infty$

4-1/ Introduction

4-2/ Limites infinies et ordre

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-1/ Fonction définie au voisinage d'un nombre réel

Définition

Soit $f$ une  fonction fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition et $a$ un nombre réel.

- On dit que $f$ est définie au voisinage de $a$ sauf peut-être en $a$ s'il existe un réel $r$ strictement positif tel que :

$]a-r;a+r[-\left\{a\right\}\subset D_f$

- On dit que $f$ est définie au voisinage de $a$ à droite s'il existe un réel $r$ strictement positif tel que :

$]a;a+r[\subset D_f$

- On dit que $f$ est définie au voisinage de $a$ à gauche s'il existe un réel $r$ strictement positif tel que :

$]a-r;a[\subset D_f$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage de zéro sauf peut-être en $0$.

Dire que $f$ a pour limite $0$ quand $x$ tend vers $0$ signifie : aussi petit que soit le réel strictement positif $\epsilon$, il existe un réel $\alpha >0$ tel que pour tout $x\in ]-\alpha ;\alpha [$, $f\left(x\right)$ est dans l'intervalle $]-\epsilon ;\epsilon [$.

Autrement dit : $\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x\right|<\alpha \Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon \right)$

On écrit : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ ou $\underset{0}{\lim }f\left(x\right)=0$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

Applications

1. Montrer en utilisant la définition que :

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\left(x^2+x\right)=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x+1}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x^2}{x^2+1}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(2x+x^2-x^3\right)=0 \end{gathered}$$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

Proposition

Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies sur un ensemble de la forme $I=]-r;r[$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

Alors : $\left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) \left|f\left(x\right)\right|\le \left|u\left(x\right)\right|\\ \underset{x\to 0}{\lim }u\left(x\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

Remarques

- Pour tous $k\in \mathrm{ℝ}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ : $\underset{x\to 0}{\lim }k{x}^n=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }k\sqrt{\left|x\right|}=0$

- La limite d’une fonction en $0$ est une notion locale : elle ne dépend de la fonction qu’au voisinage de $0$. C’est pourquoi on peut considérer : $x\in ]-1;1[$ ou $x\in ]-\frac{1}{2};\frac{1}{2}[$ ou n’importe quel intervalle ouvert centré en $0$ inclus dans le ensemble de définition de la fonction étudiée.

- On peut avoir $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ sans que la fonction $f$ soit définie en $0$.

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-2/ Limite nulle en zéro d'une fonction numérique

Applications

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \underset{x\to 0}{\lim }\sin \left(\frac{1}{x^2}\right) \\ \boxed{2} \underset{x\to 0}{\lim }x\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{x^3}\right) \end{gathered}$$

2. Justifier que $\left(\forall x\in ]-1;1[\right) : \left|2x^3-3x\right|\le 3\left|x\right|$, puis déterminer : $\underset{x\to 0}{\lim }\left(2x^3-3x\right)$

3. Justifier que $\left(\forall x\in \left[-1;1\right]\right) : \sqrt{\left|x\right|-x^2}\le \sqrt{\left|x\right|}$, puis déterminer : $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\sqrt{\left|x\right|-x^2}\right)$

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$

4. a- Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}*\right) : \left|f\left(x\right)\right|\le \left|x\right|$

4. b- En déduire : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-3/ Limite finie d'une fonction numérique en un point

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage d'un réel $a$ et $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$.

Dire que $f$ a pour limite $\mathcal{l}$ quand $x$ tend vers $a$ signifie : aussi petit que soit le réel strictement positif $\epsilon$, il existe un réel $\alpha >0$ tel que pour tout $x\in ]a-\alpha ;a+\alpha [$, $f\left(x\right)$ est dans l'intervalle $]\mathcal{l}-\epsilon ;\mathcal{l}+\epsilon [$.

Autrement dit : $\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x-a\right|<\alpha \Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)$

On écrit : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ ou $\underset{a}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

Remarque

En posan $x-a=h$, on obtient : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}\iff \underset{h\to 0}{\lim }f\left(a+h\right)=\mathcal{l}$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-3/ Limite finie d'une fonction numérique en un point

Applications

1. Montrer en utilisant la définition que :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \underset{x\to 1}{\lim }\left(3x^2-5x+1\right)=-1 \\ \boxed{2} \underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+1}{x-1}=\frac{1}{2} \\ \boxed{3} \underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{4x+1}=3 \end{gathered}$$

2. Déterminer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{3x+3} \\ \boxed{2} \underset{x\to 1}{\lim }\left(x^3-4\right) \\ \boxed{3} \underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+1}{2x+1} \end{gathered}$$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-3/ Limite finie d'une fonction numérique en un point

Proposition

Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies sur un ensemble de la forme $I=]a-r;a+r[-\left\{a\right\}$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$, $a\in \mathrm{ℝ}$ et $\mathcal{l}\in \mathrm{ℝ}$.

Alors : $\left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|\le \left|u\left(x\right)\right|\\ \underset{x\to a}{\lim }u\left(x\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

Remarques

Pour tout $\left(a;k\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ : $\underset{x\to a}{\lim }k{\left(x-a\right)}^n=0$ et $\underset{x\to a}{\lim }k\sqrt{\left|x-a\right|}=0$

Si la limite d'une fonction numérique $f$ existe en un point, alors elle est unique.

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-3/ Limite finie d'une fonction numérique en un point

Applications

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=\frac{2x}{1+x^2}$

1. a- Prouver que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left|f\left(x\right)-1\right|\le {\left(x-1\right)}^2$

1. b- En déduire : $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=1$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-4/ Limite de quelques fonctions usuelles en un point

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales et $a\in \mathrm{ℝ}$.

Alors :

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-4/ Limite de quelques fonctions usuelles en un point

Applications

1. Calculer les limites suivantes :

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-5/ Limite à droite - Limite à gauche

Définition

Soit $r$ un réel strictement positif et $a\in \mathrm{ℝ}$.

- On dit qu'une fonction $f$, définie sur l'intervalle $x\in ]a;a+r[$, admet une limite finie $\mathcal{l}$ en $a$ à droite, si les valeurs de $f\left(x\right)$ s'approchent de plus en plus de $\mathcal{l}$, lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ en prenant des valeurs supérieures à $a$.

Autrement dit : $\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<x-a<\alpha \Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)$

Ce réel $\mathcal{l}$, s'il existe, est unique. Il est noté : $\mathcal{l}=\underset{\underset{x>a}{x\to a}}{\lim }f\left(x\right)$ ou $\mathcal{l}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$

- On dit qu'une fonction $f$, définie sur l'intervalle $x\in ]a;a+r[$, admet une limite finie $\mathcal{l}$ en $a$ à gauche, si les valeurs de $f\left(x\right)$ s'approchent de plus en plus de $\mathcal{l}$, lorsque $x$ s'approche de plus en plus de $a$ en prenant des valeurs inférieures à $a$.

Autrement dit : $\left(\forall \epsilon >0\right)\left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(-\alpha <x-a<0\Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)$

Ce réel $\mathcal{l}$, s'il existe, est unique. Il est noté : $\mathcal{l}=\underset{\underset{x<a}{x\to a}}{\lim }f\left(x\right)$ ou $\mathcal{l}=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

I- Limite finie d'une fonction numérique en un point

1-5/ Limite à droite - Limite à gauche

Applications

1. Étudier la limite de la fonction $f$ au point $a$ dans les cas suivants ($E\left(x\right)$ est la partie entière de $x$) :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(x\right)=\frac{\left|x^2-4\right|}{x^2-2x} et a=2 \\ \boxed{2} \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{x^2-2x}{x+2} ; x\ge 0\\ f\left(x\right)=E\left(x\right) ; x<0\end{array}\right. et a=0 \end{gathered}$$

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-1/ Limite infinie d'une fonction numérique en zéro

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage de $0$ sauf peut-être en $0$.

- Dire que $f$ a pour limite $+\infty$ en $0$ signifie que $f\left(x\right)$ est supérieur à tout réel $A>0$, quitte à attribuer au réel $x$ des valeurs suffisamment proches de $0$.

Autrement dit : $\left(\forall A>0\right) \left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x\right|<\alpha \Rightarrow f\left(x\right)>A\right)$

On écrit : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Dire que $f$ a pour limite $-\infty$ en $0$ signifie que $f\left(x\right)$ est inférieur à tout réel $-A<0$ quitte à attribuer au réel $x$ des valeurs suffisamment proches de $0$.

Autrement dit : $\left(\forall A>0\right) \left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x\right|<\alpha \Rightarrow f\left(x\right)<-A\right)$

On écrit : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ou $\underset{0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-1/ Limite infinie d'une fonction numérique en zéro

Remarques

Soit $k\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

On a les limites suivantes :

- $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{k}{x^n}=+\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{k}{\sqrt{x}}=+\infty$

- $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{k}{x^n}=+\infty$ si  l’entier $n$ est pair.

- $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{k}{x^n}=-\infty$ si  l’entier $n$ est impair.

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-1/ Limite infinie d'une fonction numérique en zéro

Proposition

Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies sur un ensemble de la forme $I=]-r;r[-\left\{0\right\}$ où $r\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$.

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\ge u\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0}{\lim }u\left(x\right)=+\infty$, alors : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\le u\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0}{\lim }u\left(x\right)=-\infty$, alors : $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Ces propriétés restent aussi valables quand $x$ tend vers $0$ à droite ou à gauche.

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-1/ Limite infinie d'une fonction numérique en zéro

Applications

1. Calculer les limites suivantes :

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-2/ Limite infinie d'une fonction numérique en un point

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie au voisinage de $a$ sauf peut-être en $a$.

- Dire que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que $f\left(x\right)$ est supérieur à tout réel $A>0$, quitte à attribuer au réel $x$ des valeurs suffisamment proches de $a$.

Autrement dit : $\left(\forall A>0\right) \left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x-a\right|<\alpha \Rightarrow f\left(x\right)>A\right)$

On écrit : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Dire que $f$ a pour limite $-\infty$ en $a$ signifie que $f\left(x\right)$ est inférieur à tout réel $-A<0$ quitte à attribuer au réel $x$ des valeurs suffisamment proches de $a$.

Autrement dit : $\left(\forall A>0\right) \left(\exists \alpha >0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(0<\left|x-a\right|<\alpha \Rightarrow f\left(x\right)<-A\right)$

On écrit : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ou $\underset{a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-2/ Limite infinie d'une fonction numérique en un point

Remarques

- Dire que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ signifie que la limite de la fonction $h\mapsto f\left(a+h\right)$ quand $h$ tend vers $0$ est égale à $+\infty$.

Ainsi, on a l’équivalence : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{h\to 0}{\lim }f\left(a+h\right)=+\infty$

De même, on a les équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{h\to 0}{\lim }f\left(a+h\right)=-\infty \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{h\to 0^{+}}{\lim }f\left(a+h\right)=+\infty \\ \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{h\to 0^{+}}{\lim }f\left(a+h\right)=-\infty \\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{h\to 0^{-}}{\lim }f\left(a+h\right)=+\infty \\ \underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{h\to 0^{-}}{\lim }f\left(a+h\right)=-\infty \end{gathered}$$

- Soit $a\in \mathrm{ℝ}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

On a les limites suivantes :

• $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty ; \underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty$
• $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{{\left(x-a\right)}^2}=+\infty ; \underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-a}}=+\infty$
• Si n est un entier pair : $\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{{\left(x-a\right)}^n}=+\infty$
• Si n est un entier impair : $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{{\left(x-a\right)}^n}=+\infty$ et $\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{{\left(x-a\right)}^n}=-\infty$

II- Limite infinie d'une fonction numérique en un point

2-2/ Limite infinie d'une fonction numérique en un point

Applications

1. Calculer les limites suivantes :

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-1/ Limite nulle d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

Définition

Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.

- On dit que $f$ est définie au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$) si son ensemble de définition contient au moins un intervalle de la forme $]A;+\infty [$ (resp. de la forme $]-\infty ;A[$).

- On dit que $f$ définie au voisinage de $+\infty$ (resp. $-\infty$) admet en $+\infty$ (resp. en $-\infty$) une limite nulle si, pour $x\in D_f$, $\left|f\left(x\right)\right|$ peut être rendu aussi petit que l'on veut à condition que $x$ (resp. $-x$) soit suffisamment grand.

On écrit : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ ou $\underset{+\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ (resp. $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ ou $\underset{-\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$)

On a donc :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0\iff \left[\left(\forall \epsilon >0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x>B\Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon \right)\right] \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0\iff \left[\left(\forall \epsilon >0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x<-B\Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<\epsilon \right)\right] \end{gathered}$$

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-1/ Limite nulle d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

Remarques

- De la définition précédente, on obtient l’équivalence :

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(-x\right)=0$

- Soit $k\in \mathrm{ℝ}$ et $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

On a les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k}{x^n}=0 ; \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{k}{x^n}=0 \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k}{\sqrt{x}}=0 ; \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{k}{\sqrt{-x}}=0 \end{gathered}$$

- Lorsqu’on écrit $\underset{\left|x\right|\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$, cela signifie que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$.

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-2/ Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

Définition

- Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$ et $\mathcal{l}$ un nombre réel.

On dit que la fonction $f$ a pour limite $\mathcal{l}$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si la limite de la fonction $x\mapsto f\left(x\right)-\mathcal{l}$ est nulle quand $x$ tend vers $+\infty$.

On écrit : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ ou $\underset{+\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

Autrement dit :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}\iff \left[\left(\forall \epsilon >0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x>B\Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)\right]$

- Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $-\infty$ et $\mathcal{l}$ un nombre réel.

On dit que la fonction $f$ a pour limite $\mathcal{l}$ quand $x$ tend vers $-\infty$ si la limite de la fonction $x\mapsto f\left(x\right)-\mathcal{l}$ est nulle quand $x$ tend vers $-\infty$.

On écrit : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$ ou $\underset{-\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

Autrement dit :

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}\iff \left[\left(\forall \epsilon >0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x<-B\Rightarrow \left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|<\epsilon \right)\right]$

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-2/ Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

Proposition

- Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies au voisinage de $+\infty$ et $\mathcal{l}$ un nombre réel.

Si pour tout $x\in I$ : $\left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|\le u\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=0$, alors : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

- Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies au voisinage de $-\infty$ et $\mathcal{l}$ un nombre réel.

Si pour tout $x\in I$ : $\left|f\left(x\right)-\mathcal{l}\right|\le u\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=0$, alors : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\mathcal{l}$

III- Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

3-2/ Limite finie d’une fonction numérique en $+\infty$ et $-\infty$

Applications

1. Montrer en utilisant la définition que : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-1+\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)=-1$

2. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^4-2}{x^4+4} \\ \boxed{2} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x^2+2+\cos x}{x^2} \\ \boxed{3} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\mathrm{\pi }\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}}} \end{gathered}$$

Soit la fonction $h : x\mapsto \frac{2x^2-{\sin }^2\left(\mathrm{\pi x}\right)}{x^2}$.

3. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }h\left(x\right)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{1+\cos x}-1}{x^2}$

4. a- Vérifier que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$ : $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{1+\sqrt{1+\cos x}}\times \frac{1}{x^2}$

4. b- En déduire que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$ : $\left|f\left(x\right)\right|\le \frac{1}{x^2}$, puis déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

IV- Limite infinie d'une fonction en $+\infty$ et $-\infty$

4-1/ Introduction

Définition

- Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $+\infty$.

On a les deux équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \left(\forall A>0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x>B\Rightarrow f\left(x\right)>A\right) \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \left(\forall A>0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x>B\Rightarrow f\left(x\right)<-A\right) \end{gathered}$$

- Soit $f$ une fonction définie au voisinage de $-\infty$.

On a les deux équivalences suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \left(\forall A>0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x<-B\Rightarrow f\left(x\right)>A\right) \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \left(\forall A>0\right) \left(\exists B>0\right) ; \left(\forall x\in D_f\right) \left(x<-B\Rightarrow f\left(x\right)<-A\right) \end{gathered}$$

IV- Limite infinie d'une fonction en $+\infty$ et $-\infty$

4-1/ Introduction

Remarques

Soit $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$.

On a les limites suivantes :

- $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$

- $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=+\infty$ si l'entier $n$ est pair. et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n=-\infty$ si l'entier $n$ est impair.

IV- Limite infinie d'une fonction en $+\infty$ et $-\infty$

4-2/ Limites infinies et ordre

Proposition

Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies au voisinage de $+\infty$.

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\ge u\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$, alors : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\le u\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=-\infty$, alors : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Soit $f$ et $u$ deux fonctions définies au voisinage de $-\infty$.

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\ge u\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty$, alors : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

- Si pour tout $x\in I$ : $f\left(x\right)\le u\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }u\left(x\right)=-\infty$, alors : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

IV- Limite infinie d'une fonction en $+\infty$ et $-\infty$

4-2/ Limites infinies et ordre

Applications

On considère la fonction : $f:x\mapsto 5x^2+x\sqrt{x^2+1}$

1. a- Vérifier que pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}$ : $f\left(x\right)\ge 5x^2$,  puis en déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

1. b- Montrer que : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

On considère la fonction : $g:x\mapsto \left|x\right|+1-\sin \left(2x+1\right)$

2. a- Vérifier que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left|x\right|\le g\left(x\right)$

2. b-En déduire $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)$.

3. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(2+\sin x\right) \\ \boxed{2} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x}-1+\cos x\right) \\ \boxed{3} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2x-E\left(x\right)\right) \end{gathered}$$