Séance 3-1 : Applications (Cours)

Sommaire

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-1/ Applications

1-2/ Égalité de deux applications

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

II- Restriction et prolongement d’une application

2-1/ Restriction d’une application

2-2/ Prolongement d'une application

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-1/ Application injective

3-2/ Application surjective

3-3/ Application bijective

3-4/ L'application réciproque d'une bijection

IV- Composition des applications

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-1/ Applications

Définition

Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides.

On appelle application de $E$ vers $F$ toute relation $f$ qui, à tout élément $x$ de $E$ associe un unique élément $y$ de $F$.

On écrit alors : $y=f\left(x\right)$

L’application $f$ est souvent notée de la manière suivante : $$\begin{gathered} f : E\to F \\ x\mapsto f\left(x\right) \end{gathered}$$

Remarque

On peut reformuler la définition d’une application comme suit :

($f$ est une application de $E$ vers $F$)$\iff \left[\left(\forall x\in E\right)\left(\exists !y\in F\right) ; y=f\left(x\right)\right]$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-1/ Applications

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

L'ensemble $E$ est appelé ensemble de départ de l'application $f$.

L'ensemble $F$ est appelé ensemble d'arrivée de l'application $f$.

Pour tout $x\in E$, l'unique élément $y$ de $F$ tel que $y=f\left(x\right)$ est appelé image de $x$ par $f$.

Pour tout $y\in F$, tout élément $x$ de $E$ tel que $y=f\left(x\right)$ (il peut ne pas exister, en exister un, en exister plus d'un) est appelé un antécédent de $y$ par $f$.

On appelle graphe de l'application $f$ l'ensemble des couples $\left(x;f\left(x\right)\right)$ lorsque $x$ décrit $E$.

On le note $G\left(f\right)$. On a alors : $G\left(f\right)=\left\{\left(x;y\right)\in E\times F/y=f\left(x\right)\right\}$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-1/ Applications

Applications

On considère l'application $f$ définie par : $$\begin{gathered} f : {\mathrm{\mathbb{N}}}^2\to \mathrm{\mathbb{N}} \\ \left(x;y\right)\mapsto x+y \end{gathered}$$

1. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.

2. Déterminer l'ensemble des antécédents des éléments $2$ et $3$.

3. L'implication suivante est-elle vraie : $f\left(a;b\right)=f\left(c;d\right)\Rightarrow \left(a;b\right)=\left(c;d\right)$ ? Justifier la réponse.

On considère les ensembles $E=\left\{-\sqrt{5};-\sqrt{2};-1;\sqrt{2};\sqrt{5}\right\}$ et $F=\left\{1;2;5\right\}$.

4. Définir une application de $E$ vers $F$.

5. Définir une application de $F$ vers $E$.

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-2/ Égalité de deux applications

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ et $g$ une application d'un ensemble $E\text{'}$ vers un ensemble $F\text{'}$.

On dit que les applications $f$ et $g$ sont égales et on écrit $f=g$ si elles ont le même ensemble de départ $\left(E=E\text{'}\right)$, le même ensemble d'arrivée $\left(F=F\text{'}\right)$ et si $\left(\forall x\in E\right) f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-2/ Égalité de deux applications

Applications

Dans chacun des cas suivants, montrer que les applications / et g sont égales :

1er cas :

$$\begin{gathered} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto 1-{\cos }^{6}x-{\sin }^{6}x \end{gathered}$$  et  $$\begin{gathered} g : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto 3{\cos }^{2}x.{\sin }^{2}x \end{gathered}$$

2ème cas :

$$\begin{gathered} f : ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto 1-{\left(\cos x-\sin x\right)}^2 \end{gathered}$$  et  $$\begin{gathered} g : ]-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x} \end{gathered}$$

3ème cas :

$$\begin{gathered} f : ]0;\mathrm{\pi }[\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{\sin x}{1+\cos x} \end{gathered}$$  et  $$\begin{gathered} g : ]0;\mathrm{\pi }[\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{1-\cos x}{\sin x} \end{gathered}$$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

Pour toute partie $A$ de $E$, on définit l'image directe de $A$ par $f$, notée $f\left(A\right)$ par :

$f\left(A\right)=\left\{f\left(x\right)/x\in A\right\}$

On a donc : $y\in f\left(A\right)\iff \left[\left(\exists x\in A\right) ; y=f\left(x\right)\right]$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Applications

On considère l'application : $$\begin{gathered} f : {\mathrm{ℝ}}^{+}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto x-4\sqrt{x}+1 \end{gathered}$$

1. Déterminer $f\left(\left[0;4\right]\right)$.

2. Montrer que : $f\left(]1;+\infty [\right)=[-3;+\infty [$

On considère l'application : $$\begin{gathered} g : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \cos x+\sin x \end{gathered}$$

3. Justifier que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ : ${\left(\cos x+\sin x\right)}^2=1+2\sin x.\cos x$

4. En déduire que : $g\left(\mathrm{ℝ}\right)\subset \left[-\sqrt{3};\sqrt{3}\right]$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Proposition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$, et $A$ et $B$ deux parties de $E$.

Alors :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f\left(A\right)\subset F \\ \boxed{2} A=\varnothing \iff f\left(A\right)=\varnothing \\ \boxed{3} A\subset B\Rightarrow f\left(A\right)\subset f\left(B\right) \\ \boxed{4} f\left(A\cup B\right)=f\left(A\right)\cup f\left(B\right) \\ \boxed{5} f\left(A\cap B\right)\subset f\left(A\right)\cap f\left(B\right) \end{gathered}$$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Remarques

Attention, on n’a pas, en général $f\left(A\cap B\right)=f\left(A\right)\cap f\left(B\right)$.

On peut par exemple examiner :

$$\begin{gathered} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto x^2 \end{gathered}$$ et $A=\left[-2;-1\right]$ et $B=\left[1;2\right]$

On trouve : $f\left(A\cap B\right)=f\left(\varnothing \right)=\varnothing$ et $f\left(A\right)\cap f\left(B\right)=\left[1;4\right]\cap \left[1;4\right]=\left[1;4\right]$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

Pour toute partie $B$ de $F$, on définit l'image réciproque de $B$ par $f$, notée $f^{-1}\left(B\right)$ par :

$f^{-1}\left(B\right)=\left\{x\in E/f\left(x\right)\in B\right\}$

On a donc : $x\in f^{-1}\left(B\right)\iff f\left(x\right)\in B$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Remarques

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$, et $B$ une partie de $F$.

- On a $f^{-1}\left(\varnothing \right)=\varnothing$ et $f^{-1}\left(F\right)=E$.

- Pour tout $y\in F$ : $f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right)=\left\{x\in E/f\left(x\right)=y\right\}$

- L'égalité $f^{-1}\left(B\right)=\varnothing$ ne signifie pas que $B=\varnothing$.

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Proposition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$, et $A$ et $B$ une partie de $F$.

Alors :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f^{-1}\left(A\right)\subset E \\ \boxed{2} A\subset B\Rightarrow f^{-1}\left(A\right)\subset f^{-1}\left(B\right) \\ \boxed{3} f^{-1}\left(A\cup B\right)=f^{-1}\left(A\right)\cup f^{-1}\left(B\right) \\ \boxed{4} f^{-1}\left(A\cap B\right)=f^{-1}\left(A\right)\cap f^{-1}\left(B\right) \end{gathered}$$

I- Application d'un ensemble vers un autre

1-3/ Image directe et image réciproque d’une partie

Applications

On considère l'application : $$\begin{gathered} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto x^2+2x \end{gathered}$$

1. Déterminer $f^{-1}\left(\left[-1;0\right]\right)$ et $f^{-1}\left([3;+\infty [\right)$.

On considère l'application : $$\begin{gathered} g : {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto 1+\frac{1}{x} \end{gathered}$$

2. Déterminer $g^{-1}\left(]1;2]\cup [5;+\infty [\right)$

II- Restriction et prolongement d’une application

2-1/ Restriction d’une application

Définition

Soit $f : E\to F$ une application et $A$ une partie de $E$.

On appelle restriction de $f$ à la partie , l'application $g$ définie par : $$\begin{gathered} g : A\to F \\ x\mapsto f\left(x\right) \end{gathered}$$

On a alors $A\subset E$ et $g\left(x\right)=f\left(x\right)$  pour tout $x\in A$.

II- Restriction et prolongement d’une application

2-1/ Restriction d’une application

Applications

On considère l'application $g$ définie de $\mathrm{ℝ}$ vers $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=2x-\left|x\right|+3$

1. Déterminer la restriction de l'application g à l'intervalle $]-\infty ;0]$.

Soit $f$ l'application définie de $\mathrm{ℝ}$ vers $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)= x^2-2x$

2. A-t-on l'implication $\left(\forall \left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right): f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow a=b$ ? Justifier votre réponse.

3. Montrer que la restriction de  à l'intervalle $[1;+\infty [$ vérifie l'implication précédente.

II- Restriction et prolongement d’une application

2-2/ Prolongement d'une application

Définition

Soit $f : E\to F$ une application et $G$ un ensemble tel que $E\subset G$.

On appelle prolongement de $f$ à la partie $G$, toute application $g$ définie de $G$ vers $F$ telle que :

$\left(\forall x\in G\right) : g\left(x\right)=f\left(x\right)$

Remarque

La restriction d'une application à une partie est unique mais on a en général plusieurs prolongements possibles d'une application à un même ensemble.

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-1/ Application injective

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

On dit que l'application $f$ est injective (on dit aussi que c'est une injection) si tout élément de $F$ a au plus un antécédent dans $E$ par l'application $f$.

Autrement dit, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f\left(x\right)$ admet au plus une solution $x$ dans $E$.

Cela s'écrit : $\left(\forall \left(x;x\right)\in E^2\right) : f\left(x\right)=f\left(x\text{'}\right)\Rightarrow x=x\text{'}$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-1/ Application injective

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application $f$ est injective :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{x}{2018+\left|x\right|} \\ \boxed{2} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ \boxed{3} f : ]-\infty ;1]\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto x^2-x \end{gathered}$$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-2/ Application surjective

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

On dit que l'application $f$ est surjective (on dit aussi que c'est une surjection) si tout élément de $F$ a au moins un antécédent dans $E$ par l'application $f$.

Autrement dit, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f\left(x\right)$ admet au moins une solution $x$ dans $E$.

Cela s'écrit : $\left(\forall y\in F\right)\left(\exists x\in E\right) : y=f\left(x\right)$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-2/ Application surjective

Proposition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Alors :

($f$ est surjective)$\iff f\left(E\right)=F$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-2/ Application surjective

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application $f$ est surjective :

$$\begin{gathered} \boxed{1} f : ]-\infty ;3[\to ]-\infty ;2[ \\ x\mapsto \frac{2x+1}{x-3} \\ \boxed{2} f : [1;+\infty [\to {\mathrm{ℝ}}^{+} \\ x\mapsto \sqrt{x^2-x} \\ \boxed{3} f : \mathrm{ℝ}]\to ]-1;\sqrt{2}] \\ x\mapsto \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}} \end{gathered}$$

Soit $g$ l'application : $$\begin{gathered} g :\mathrm{\mathbb{N}}*\to \mathrm{\mathbb{N}} \\ n\mapsto n^3-n \end{gathered}$$

2. Montrer que $g$ est injective.

3. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$, $g\left(n\right)$ est paire.

4. En déduire que $g$ n'est pas surjective.

Soit $h$ l'application : $$\begin{gathered} h :\mathrm{ℝ}\to F \\ x\mapsto x^2-6x+5 \end{gathered}$$

5. Déterminer $F$ pour que $h$ soit surjective.

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-3/ Application bijective

Définition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

On dit que l'application $f$ est bijective (on dit aussi que c'est une bijection) si tout élément de $F$ admet exactement un antécédent dans $E$ par l'application $f$.

Autrement dit, pour tout $y\in F$, l'équation $y=f\left(x\right)$ admet une solution unique $x$ dans $E$.

Cela peut s'écrire : $\left(\forall y\in F\right)\left(\exists !x\in E\right) : y=f\left(x\right)$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-3/ Application bijective

Remarque

Si on veut être précis en termes de vocabulaire, on doit dire :

• $f$ est une application de $E$ vers $F$.
• $f$ est une injection de $E$ vers $F$.
• $f$ est une surjection de $E$ vers $F$.
• $f$ est une bijective de $E$ vers $F$.

Néanmoins, dans la pratique, on n'est pas aussi méticuleux et on dit que $f$ est une application, une injection, une surjection, une bijection de $E$ vers $F$ ou de $E$ dans $F$.

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-3/ Application bijective

Proposition

Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Alors :

$f$ est bijective si, et seulement si, $f$ est injective et surjective

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-3/ Application bijective

Applications

Soit $f$ l'application définie de $\mathrm{ℝ}$ dans $]-1;1[$ par : $f\left(x\right)=\frac{x}{1+\left|x\right|}$

1. Montrer que $f$ est injective.

2. Montrer que $f$ est surjective.

3. En déduire que $f$ est bijective.

Soit $g$ l'application définie de ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ dans $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=\frac{x^2-1}{\sqrt{x^2+1}}$

4. Montrer que $g$ est injective et surjective.

5. Que peut-en conclure de l'application $g$ ?

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-4/ L'application réciproque d'une bijection

Définition

Soit $f$ une application bijective d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.

En associant à tout élément $y\in F$ son unique antécédent par $f$, on définit une application de $F$ dans $E$.

Cette application est appelée application réciproque de l'application $f$ (ou simplement la réciproque de $f$) et notée $f^{-1}$.

Elle est caractérisée par l'équivalence suivante :

$\left\{\begin{array}{l}y=f\left(x\right)\\ x\in E\end{array}\right.\iff \begin{array}{l}x=f^{-1}\left(y\right)\\ y\in F\end{array}$

III- Injectivité - Surjectivité - Bijectivité

3-4/ L'application réciproque d'une bijection

Applications

On considère l'application : $$\begin{gathered} g : [1;+\infty [\to [\sqrt{2};+\infty [ \\ x\mapsto \sqrt{x^2+x} \end{gathered}$$

1. Montrer que l'application $g$ est bijective.

2. Déterminer son application réciproque $g^{-1}$.

IV- Composition des applications

Définition

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$, et $g$ une application de $F$dans $G$.

L’application $h$ définie de $E$ dans $G$ par $h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$ est appelée composée des applications $f$ et $g$ dans cet ordre

Elle est notée $g\circ f$ (se lit : $g$ rond $f$).
 
On a alors : $\left(\forall x\in E\right) g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)$

IV- Composition des applications

Remarque

Attention ! il se peut que l'on puisse définir l'application $g\circ f$ mais que l'on ne puisse pas définir l'application $f\circ g$.

Si l'on peut définir $f\circ g$ et $g\circ f$, ces deux applications ne sont pas forcément égales, donc la composition des applications n'est pas une opération commutative.

Par contre, la composition des applications est une opération associative, c'est-à-dire : pour trois applications $f : E\to F$, $g : F\to G$ et $h : G\to H$, on a : $h\circ \left(g\circ f\right)=\left(h\circ g\right)\circ f$

IV- Composition des applications

Applications

On considère les applications $$\begin{gathered} f : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{x^2+4}{x^2+1} \end{gathered}$$ et $$\begin{gathered} g : \mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto \frac{1}{3}x+2 \end{gathered}$$

1. Déterminer $f\circ g$, $g\circ f$, $f\circ f$ et $g\circ g$.

On considère les applications $$\begin{gathered} f : \mathrm{ℝ}\to {\mathrm{ℝ}}^{+} \\ x\mapsto x^2+2 \end{gathered}$$ et $$\begin{gathered} g : {\mathrm{ℝ}}^{+}\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto 3+\sqrt{x} \end{gathered}$$

2. Déterminer $f\circ g$, $g\circ f$ et $f\circ f$.

On considère les translations du plan $t_{\overrightarrow{u}}$ et $t_{\overrightarrow{v}}$.

3. Déterminer l'application $t_{\overrightarrow{u}}\circ t_{\overrightarrow{v}}$ (On rappelle que $t_{\overrightarrow{u}}\left(M\right)=M\text{'}\iff \overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{u}$).

IV- Composition des applications

Proposition

Soit $f$ une application de $E$ vers $F$, et $g$ une application de $F$dans $G$.

1- Si les applications $f$ et $g$ sont injectives, alors l'application $g\circ f$ est injective de $E$ dans $G$.

2- Si les applications $f$ et $g$ sont surjectives, alors l'application $g\circ f$ est surjective de $E$ dans $G$.

3- Si les applications $f$ et $g$ sont bijectives, alors l'application $g\circ f$ est bijective de $E$ dans $G$, et on a :

${\left(g\circ f\right)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

4- Si l'application $f$ est bijective, alors :

$\left(\forall x\in E\right) f^{-1}\circ f\left(x\right)=x$ et $\left(\forall x\in F\right) f\circ f^{-1}\left(x\right)=x$

IV- Composition des applications

Remarque

Si $f$ est une application bijective de $E$ vers $F$ et $f^{-1}$ son application réciproque, alors :

$f^{-1}\circ f=I{d}_E$ et $f\circ f^{-1}=I{d}_F$

où $I{d}_E$ est l'application identique de $E$ et $I{d}_F$ est l'application identique de $F$ définies par :

$$\begin{gathered} I{d}_E : E\to E \\ x\mapsto x \end{gathered}$$ et $$\begin{gathered} I{d}_F : F\to F \\ x\mapsto x \end{gathered}$$

IV- Composition des applications

Applications

Soit $E$ un ensemble non vide.

On considère l'application $f$ définie de $\mathcal{P}\left(E\right)$ dans $\mathcal{P}\left(E\right)$ par : $f\left(A\right)=\overline{A}$

1. Montrer que l'application $f$ est injective.

2. Montrer que l'application $f$ est surjective

3. En déduire que l'application $f$ est bijective, puis déterminer sa bijection réciproque.

On considère l'application $g$ définie de $\left[0;\frac{1}{4}\right]$ dans $\left[0;\frac{1}{4}\right]$ par : $g\left(x\right)=x-\sqrt{x}$

4. Montrer que l'application $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.

On considère l'application : $$\begin{gathered} f : [1;+\infty [\to \mathrm{ℝ} \\ x\mapsto x-1-2\sqrt{x-1} \end{gathered}$$

5. Déterminer $f^{-1}\left(\left\{-\frac{1}{2}\right\}\right)$.

6. L'application $f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.

7. Montrer que $f\left([1;+\infty [\right)=[0;+\infty [$.

8. L'application $f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.

On considère l'application : $$\begin{gathered} g : [0;+\infty [\to ]-1;+\infty [ \\ x\mapsto x^2-2x \end{gathered}$$

9. Déterminer une application $h$ telle que $f=g\circ h$.

10. Montrer que les applications $g$ et $h$ sont surjectives et en déduire que $f$ est surjective.

Soit $h$ l'application définie de $]1;+\infty [$ dans $]1;\sqrt{3}[$ par : $h\left(x\right)=\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x^2-x+1}}$

11. Montrer que l'application $h$ est bijective et donner sa bijection réciproque.