Séance 1-2-1 : Notion de logique - Partie 2 (Cours)

Sommaire

V- Lois logiques et raisonnements

5-1/ Loi logique ou tautologie

5-2/ Lois de Morgan

5-3/ Raisonnement par contraposée

5-4/ Raisonnement par l'absurde

5-5/ Raisonnement par disjonction des cas

5-6/ Raisonnement par récurrence

V- Lois logiques et raisonnements

5-1/ Loi logique ou tautologie

Définition

Soit $Q_1,Q_2,....,Q_n$ des propositions.

On appelle loi logique ou tautologie toute proposition $P$ résultante de l'assemblage par des connecteurs logiques de propositions prises parmi $Q_1,Q_2,....,Q_n$ qui est vraie quelle que soit la valeur de vérité des propositions en jeu.

V- Lois logiques et raisonnements

5-1/ Loi logique ou tautologie

Applications

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

1. Montrer que les propositions suivantes sont des lois logiques :

$$\begin{gathered} P\Rightarrow \left(Q\Rightarrow P\right) \\ P\Rightarrow \left(\overline{P}\Rightarrow Q\right) \\ \left(\overline{Q} ou P\right) ou \left(Q ou \overline{P}\right) \\ \left(P\iff Q\right)\iff \left[\left(P et Q\right) ou \left(\overline{P} et \overline{Q}\right)\right] \end{gathered}$$

V- Lois logiques et raisonnements

5-2/ Lois de Morgan

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

Les deux propositions suivantes sont des lois logiques :

$$\begin{gathered} \overline{\left(P et Q\right)}\iff \left(\overline{P} ou \overline{Q} \right) \\ \overline{\left(P ou Q\right)}\iff \left(\overline{P} et \overline{Q} \right) \end{gathered}$$

V- Lois logiques et raisonnements

5-2/ Lois de Morgan

Applications

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

1. Déterminer la négation des propositions suivantes :

$$\begin{gathered} P : « \left(\exists x\in \mathrm{ℝ}\right) 0\le x<1 » \\ Q : « \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left(x^2=1\Rightarrow x=1\right) » \\ R : « \left(\forall a\in \mathrm{ℝ}\right) \left(\left|a+1\right|\le 2\Rightarrow a\ge -3\right)» \\ S : « \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right)\left(\forall y\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) \left(x^2\le y^2\iff -y\le x\le y\right) » \end{gathered}$$

V- Lois logiques et raisonnements

5-3/ Raisonnement par contraposée

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

L’implication $\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}$ s’appelle la contraposée (ou l’implication contraposée) de l’implication $P\Rightarrow Q$.

La contraposée d’une implication est équivalente à celle-ci :

$\left(P\Rightarrow Q\right)\iff \left(\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}\right)$

V- Lois logiques et raisonnements

5-3/ Raisonnement par contraposée

Remarques

Il faut bien distinguer entre la négation, la contraposée et la réciproque :

• La négation de $P\Rightarrow Q$ est $\left(P et \overline{Q}\right)$.
• La réciproque de $P\Rightarrow Q$ est $Q\Rightarrow P$.
• La contraposée de $P\Rightarrow Q$ est $\overline{Q}\Rightarrow \overline{P}$.

Le recours au raisonnement par contraposée n'est évidemment pertinent que si cette contraposée est plus facile à prouver que l'implication directe.

V- Lois logiques et raisonnements

5-3/ Raisonnement par contraposée

Applications

1. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer les implications suivantes :

$$\begin{gathered} \boxed{1} \left(\forall x\in [-1;+\infty [\right) \left(x\ne 0\Rightarrow \sqrt{1+x}\ne 1+\frac{x}{2}\right) \\ \boxed{2} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left(x^2\ne 3\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\ne 1\right) \\ \boxed{3} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \left(4y\ne -3x\Rightarrow x-y\ne 7\left(x+y\right)\right) \\ \boxed{4} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \left(\left(xy-1\right)\left(x-y\right)\ne 0\Rightarrow x\left(y^2+y+1\right)\ne y\left(x^2+x+1\right)\right) \\ \boxed{5} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\left(]1;+\infty [\right)}^2\right) \left(x\ne y\Rightarrow x^2-2x\ne y^2-2y\right) \\ \boxed{6} \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left(x\notin \left[-1;4\right]\Rightarrow x^2-3x-4>0\right) \\ \boxed{7} \left(\forall x\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) \left(x\ne 0\Rightarrow \frac{1}{1+\sqrt{x}}\ne 1-\sqrt{x}\right) \\ \boxed{8} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \left(x^2+y^2\le 1\Rightarrow \left|x+y\right|\le 2\right) \\ \boxed{9} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \left(\left|2x^2+5xy+3y^2\right|\le 3\Rightarrow \left(\left|x+y\right|\le 3 ou \left|2x+3y\right|\le \sqrt{3}\right)\right) \\ \boxed{10} \left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) \left(x^2+xy+y^2\le 3\Rightarrow \left(\left|x+2y\right|\le 2\sqrt{3} et \left|x\right|\le 2\right)\right) \end{gathered}$$

V- Lois logiques et raisonnements

5-4/ Raisonnement par l'absurde

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

La proposition suivante est une loi logique :

$\left[\left(\overline{P}\Rightarrow Q\right) et \left(\overline{P}\Rightarrow \overline{Q} \right)\right]\Rightarrow P$

V- Lois logiques et raisonnements

5-4/ Raisonnement par l'absurde

Applications

Soit $a$, $b$ et $c$ des réels positifs tels que $ab<c$.

1. Montrer que : $a<\sqrt{c} ou b<\sqrt{c}$

Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ telle que pour tout $\left(x;y\right)\in {\left(\mathrm{ℝ}*\right)}^2 : f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)$

On suppose que $f\left(1\right)\ne 0$.

2. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}*\right) f\left(x\right)\ne 0$

3. Montrer par l'absurde que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \sqrt{4n+2}\notin \mathrm{\mathbb{N}}$

V- Lois logiques et raisonnements

5-5/ Raisonnement par disjonction des cas

Proposition

Soit $P$ et $Q$ deux propositions.

La proposition suivante est une loi logique :

$\left[\left(P\Rightarrow R\right) et \left(Q\Rightarrow R\right)\right]\iff \left[\left(\left(P ou Q\right)\Rightarrow R\right)\right]$

V- Lois logiques et raisonnements

5-5/ Raisonnement par disjonction des cas

Applications

1. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \left(I_1\right) \left|x^2-4\right|-x^2>0 \\ \left(I_2\right) \left|2x-1\right|+\left|2x+1\right|+\left|x\right|\ge 4 \\ \left(I_3\right) \sqrt{3-x}+x<0 \end{gathered}$$

2. Montrer que le produit de trois entiers relatifs consécutifs est divisible par $6$.

3. Montrer que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ :

$$\begin{gathered} a) x+\sqrt{x^2+1}>0 \\ b) \left|x\right|+\left|x+1\right|+\left|x-1\right|\ne 0 \\ c) \left|x-1\right|\le x^2-2x+2 \end{gathered}$$

Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $c$ est positif.

4. En utilisant un raisonnement par disjonction des cas, montrer les deux implications suivantes :

$$\begin{gathered} \left(\left|a\right|\le c et \left|b\right|\le c\right)\Rightarrow \left|a+b\right|+\left|a-b\right|\le 2c \\ \left|a+b\right|+\left|a-2b\right|\le 3c\Rightarrow \left(\left|a\right|\le 2c et \left|b\right|\le c\right) \end{gathered}$$

Soit $n$ un entier naturel.

5. Démontrer que si $n$ est impair, alors il s'écrit sous la forme $n=4k+1$ ou $n=Ak+3$ avec $k\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

6. Déduire que si l'entier $n^2-1$ n’est pas divisible par $8$, alors l’entier $n$ est pair.

V- Lois logiques et raisonnements

5-6/ Raisonnement par récurrence

Proposition

Soit $P\left(n\right)$ une fonction propositionnelle qui dépend d'un entier naturel $n$ et $n_0\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

Si la proposition $P\left(n_0\right)$ est vraie et si l'implication $«P\left(n\right)\Rightarrow P\{n+1)»$ est vraie pour tout $n\ge n_0$, alors, la proposition $P\left(n\right)$ est vraie, pour tout entier $n\ge n_0$.

V- Lois logiques et raisonnements

5-6/ Raisonnement par récurrence

Applications

1. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ :

$$\begin{gathered} 1+2+....+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2} \\ {1}^3+2^3+....+n^3=\frac{n^2{\left(n+1\right)}^2}{4} \\ 1\times 2+2\times 3+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3} \end{gathered}$$

2. Montrer par récurrence que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}* : 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}$ est divisible par $23$.

Soit $a$ et $b$ deux réels distincts et strictement positifs.

3. Montrer par récurrence que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n\le \frac{a^n+b^n}{2}$