Math 1Bac S.Exp - Semestre 2 Devoir 3 Modèle 1

I- Exercice 1 (6 pts)

On considère dans l'espace deux points $A(0;1;2)$ et $B(2;-1;1)$, et trois vecteurs $\overrightarrow{u}(1;0;-2)$,
$\overrightarrow{v}\left(1;-1;-3\right)$ et $\overrightarrow{w}(1;-1;2)$.

1. Donner une représentation paramétrique de la droite $\left(D\right)$ qui passe par $B(2;-1;1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{w}(1;-1;2)$.

2. Montrer que les deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

3. Montrer que $2x-y+z-1=0$ est une équation cartésienne du plan $\left(P\right)$ qui passe par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

4. Montrer que les trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires.

5. En déduire que la droite $\left(D\right)$ perce le plan $\left(P\right)$ ,et déterminer les coordonnées de leur point d'intersections.

II- Exercice 2 (3 pts)

Soit $ABCDEFGH$ un cube, et soient les points $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{EM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{EH}$ et $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

1. Montrer que $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{EA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

2. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont coplanaires.

III- Exercice 3 (11 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{x^3-2x^2-x+1}{x^2}$

Soit $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.

1. Déterminer $D_f$.

2. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.

3. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

4. Montrer que la droite $\left(D\right) : y=x-2$ est une asymptote oblique à $\left(C_f\right)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.

5. Étudier la position relative de $\left(C_f\right)$ par rapport à la droite $\left(D\right)$.

6. Montrer que : $\left(\forall x\in D_f\right) f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+2\right)}{x^3}$

7. Montrer que le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ est celui de $x(x-1)$.

8. Dresser le tableau de variation de $f$.

9. Montrer que : $\left(\forall x\in D_f\right) f"\left(x\right)=\frac{6-2x}{x^4}$ (utilisez $f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^3+x-2}{x^3}$)

10. Étudier la concavité de $\left(C_f\right)$, et montrer que $\left(C_f\right)$ admet un point d'inflexion dont il faut déterminer les coordonnées.

On admet que $f\left(-1\right)=-1$, $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{2}$ et $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

11. Construire $\left(C_f\right)$.