Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Semestre 2 Devoir 3 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

I- Exercice 1 (6 pts)

 

On considère dans l'espace deux points A(0;1;2) et B(2;-1;1), et trois vecteurs u(1;0;-2),
v1;-1;-3 et w(1;-1;2).

  1. Donner une représentation paramétrique de la droite (D) qui passe par B(2;-1;1) et de vecteur directeur w(1;-1;2).
  1. Montrer que les deux vecteurs u et v ne sont pas colinéaires.
  1. Montrer que 2x-y+z-1=0 est une équation cartésienne du plan (P) qui passe par le point A et de vecteurs directeurs u et v.
  1. Montrer que les trois vecteurs u, v et w ne sont pas coplanaires.
  1. En déduire que la droite (D) perce le plan (P) ,et déterminer les coordonnées de leur point d'intersections.

 

II- Exercice 2 (3 pts)

 

Soit ABCDEFGH un cube, et soient les points M et N tels que EM=13EH et AN=13AB.

  1. Montrer que MN=EA+13DB.
  1. Montrer que les vecteurs MNEA et AB sont coplanaires.

 

III- Exercice 3 (11 pts)

 

On considère la fonction numérique f définie par : fx=x3-2x2-x+1x2

Soit Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i;j).

  1. Déterminer Df.
  1. Calculer limx0+fx, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.
  1. Calculer limx-fx et limx+fx.
  1. Montrer que la droite (D) : y=x-2 est une asymptote oblique à Cf au voisinage de + et de -.
  1. Étudier la position relative de Cf par rapport à la droite (D).
  1. Montrer que : xDf f'x=x-1x2+x+2x3
  1. Montrer que le signe de f'(x) est celui de x(x-1).
  1. Dresser le tableau de variation de f.
  1. Montrer que : xDf f"x=6-2xx4 (utilisez f'x=x3+x-2x3)
  1. Étudier la concavité de Cf, et montrer que Cf admet un point d'inflexion dont il faut déterminer les coordonnées.

On admet que f-1=-1, f-12=72 et f12=12.

  1. Construire Cf.