Mathématiques : Tronc Commun

Séance 15 (Statistiques)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Terminologie statistique et symboles

1-1/ Population – Unité statistique – Caractère – Valeurs – Classes

1-2/ Effectifs – Effectifs cumulés – Fréquences – Fréquences cumulées – Pourcentages

II- Paramètres de position

2-1/ Moyenne arithmétique (ou moyenne statistique)

2-2/ Médiane

III- Paramètres de dispersion

3-1/ Étendue

3-2/ Écart moyen

3-3/ Variance

3-4/ Écart type

IV- Diagrammes

4-1/ Diagramme en bâtons et polygone statistique

4-2/ Diagramme sectoriel

4-3/ Histogramme

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

 


I- Terminologie statistique et symboles

 

1-1/ Population – Unité statistique – Caractère – Valeurs – Classes

Activité
  1. Exemple 1

Dix candidats ont passé un concours , les notes obtenues sur 150 points sont :

60 – 70 – 80 – 60 – 60 – 70 – 90 – 70 – 60 – 80

  1. Exemple 2

Le tableau suivant présente les poids de 60 bébés âgés de 4 mois :

Poids des bébés en kg [5;5,5[ [5,5;6[ [6;6,5[ [6,5;7[ [7;7,5[
Nombres de bébés 200 50 30 15 5
  1. Exemple 3

Le tableau suivant donne le nombre des voitures vendues de chaque marque parmi 300 voitures vendues pendant un mois :

Marques des voitures Dacia Peugeot Ford Mercedes BMW
Nombres des voitures vendues 200 50 30 15 5
Terminologie statistique
Termes Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3
Population statistique 10 candidats 60 bébés 300 voitures vendues
Effectif total (noté N) N=10 N=60 N=300
Unité statistique ou « individu» Candidat Bébé Voiture vendue
Caractère (ou variable statistique) Note obtenue Poids du bébé Marque de la voiture
Types de caractères Caractère quantitatif discret Caractère quantitatif continue Caractère qualitatif
xi : valeurs du caractère
[ap,ap+1[ : classes du caractère
Suivant le sens croissant :
x1=60 ; x2=70x3=80 ; x4=90
La 1ère classe est [5;5,5[
La dernière classe est  [7;7,5[
Le représentant est ci=ai+ai+12 le milieu de l’intervalle [ai;ai+1[
 

 

 

Remarques

Le caractère quantitatif discret prend des valeurs isolées (comme les mois de naissances des élèves ou le nombre des membres de la famille pour chaque élève d’une classe de tronc commun .

Le caractère quantitatif continue prend des valeurs très proches (comme les poids ou les hauteurs des
élèves d’un lycée), dans ce cas les valeurs du caractères sont rassemblées dans des intervalles demi
ouverts  de même longueur ou de même capacité, chaque intervalle est appelé classe.

Le caractère qualitatif ne peut pas s’exprimer par des nombres (comme les couleurs des yeux ou les marques des voitures préférées).

 

 

1-2/ Effectifs – Effectifs cumulés – Fréquences – Fréquences cumulées – Pourcentages

Effectifs

Le nombre de fois tel qu’une valeur xi est répétée s’appelle effectif, on la note ni.

La somme des effectifs ni est N le nombre total de la population statistique.

Le couple xi,ni s’appelle une série statistique.

Toute valeur ou toute classe ayant le plus grand effectif s’appelle valeur (ou classe) modale.

On peut avoir plusieurs valeurs modes (valeurs modales) ou classes modes (ou classes modales).

 

 

Effectifs cumulés

xi,ni est une série statistique.

Le nombre n1+n2+...+ni s’appelle l’effectif cumulé de la valeur xi d’un caractère.

 

 

Fréquences

xi,ni est une série statistique.

Le nombre niN s’appelle la fréquence de la valeur xi d’un caractère.

On note : fi=niN

 

 

Fréquences cumulées

xi,ni est une série statistique.

Le nombre f1+f2+...+fi s’appelle la fréquence cumulée de la valeur xi d’un caractère.

 

 

Pourcentages

xi,ni est une série statistique.

Le nombre fi×100% s’appelle le pourcentage de la valeur xi d’une caractère .

On note : pi=fi×100%

La somme des pourcentage est égale à 100% p1+p2+...+pp=100% .

 

II- Paramètres de position

 

2-1/ Moyenne arithmétique (ou moyenne statistique)

Définition

La moyenne arithmétique d’une série statistique xi,ni est le nombre x tel que :

x=n1x1+n2x2+....+npxpN

avec p est le nombre des valeurs xi et N=n1+n2+....+np.

Remarque

Dans le cas d’une série statistique où les valeurs sont exprimées par classes [ai;ai+1[, les valeurs xi sont remplacés par les milieux ci=ai+ai+12 des classes [ai;ai+1[.

Donc : x=n1c1+n2c2+....+npcpN

avec p est le nombre de classes.

Exemple

 

 

2-2/ Médiane

Définition

La plus petite valeur du caractère dont l’effectif cumulé est plus grand ou égal à la moitié de l’effectif total N est appelée la médiane.

On la note Me.

Exemple

 

III- Paramètres de dispersion

 

3-1/ Étendue

Définition

La différence entre deux valeurs extrêmes s’appelle l’étendue.

Exemple

 

 

3-2/ Écart moyen

Définition

La moyenne des écarts à la moyenne statistique x s’appelle l’écart-moyen, on la note e :

e=n1x1-x+n2x2-x+....+npxp-xN

Exemple

 

 

3-3/ Variance

Définition

La variance d’une série statistique xi,ni est le nombre V tel que :

V=n1x12-x2+n2x22-x2+....+npxp2-x2N

avec p est le nombre des valeurs xi, et N=n1+n2+...+np, et x est la moyenne arithmétique de la série statistique.

Propriété

La variance d’une série statistique xi,ni est :

V=n1x12+n2x22+....+npxp2N-x2

La variance est toujours positive.

Exemple

 

 

3-4/ Écart type

Définition

L’écart type d’une série statistique xi,ni est le nombre σ tel que σ=V, avec V est la variance de la série statistique.

Exemple

 

IV- Diagrammes

 

4-1/ Diagramme en bâtons et polygone statistique

Exemple
Valeurs xi x1=30 x2=50 x3=170 x4=200 x5=320
Effectifs ni n1=12 n2=8 n3=14 n4=20 n5=6
Fréquences fi f1=1260 f2=860 f3=1460 f4=2060 f5=660
Diagramme en bâtons des effectifs

Polygone statistique des effectifs

Diagramme en bâtons des fréquences

Polygone statistique des fréquences

 

 

4-2/ Diagramme sectoriel

Exemple
Valeurs xi x1=30 x2=50 x3=170 x4=200 x5=320
Effectifs ni n1=12 n2=8 n3=14 n4=20 n5=6
αi=360°×niN α1=72° α2=48° α3=84° α4=120° α5=36°
βi=180°×niN β1=36° β2=24° β3=42° β4=60° β5=18°
Diagramme sectoriel sur un cercle tout entier

Diagramme sectoriel sur un demi cercle

 

4-3/ Histogramme

Exemple
Classe [ai,ai+1[ [10;20[ [20;30[ [30;40[ [40;50[ [50;60[
Effectifs 2 7 3 10 8
Histogramme des effectifs des classes d'amplitude 10

 

V- Exercices

 

5-1/ Exercice 1

Un ensemble de famille est décrit d’après le nombre des enfants :

  1. Faire une représentation graphique des effectifs.
  1. Représenter le polygone des effectifs.
  1. Donner la moyenne.
  1. Calculer la médiane

 

 

5-2/ Exercice 2

Voici le relevé d’une étude statistique sur les tailles en cm de 300 élèves d’un établissement :

  1. Faire le calcul des fréquences, mode, médiane, moyenne, variance.
  1. Faire la représentation graphique des effectifs, ainsi que le polygone des effectifs.

 

 

5-3/ Exercice 3

La vitesse d’un certain nombre de voiture a été contrôlé sur une autoroute, et on a obtenu le tableau suivant :

  1. Faire le calcul des fréquences, mode, , moyenne, 
  1. Faire la représentation graphique des effectifs.

 

 

5-4/ Exercice 4

Le tableau suivant récapitule les moyennes annuelles en Mathématiques d’élèves de seconde :

  1. Compléter la distribution des fréquences.
  1. Que signifie ECC ? compléter la ligne correspondante.
  1. Utiliser le tableau pour déterminer la médiane, les premier et troisième quartiles.
  1. Tracer le polygone des effectifs.