Mathématiques : Tronc Commun

Séance 13 (Le produit scalaire)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Produit scalaire de deux vecteurs

1-1/ Norme d’un vecteur

1-2/ Produit scalaire de deux vecteurs

II- Forme trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls

III- Orthogonalité de deux vecteurs

IV- Propriétés du produit scalaire

V- Applications du produit scalaire

5-1/ Relations métriques dans un triangle rectangle

5-2/ Théorème d’El Kashi

5-3/ Théorème de la médiane

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Produit scalaire de deux vecteurs

 

1-1/ Norme d’un vecteur

Définition

Soit u un vecteur du plan P.

A et B deux points de P tel que u=AB.

La distance entre A et B est notée par AB ou encore AB. On lit la norme du vecteur u ou AB.

Donc AB=AB.

 

 

1-2/ Produit scalaire de deux vecteurs

Définition

u et v deux vecteurs du plan tel que u=AB et v=AC.

le produit scalaire deu et v est noté u.v tel que :

Si u=0 ou v=0, on a : u.v=0

Si u0 et v0 et H la projection orthogonale de C sur la droite AB (AB car u0), alors

u.v=AB.AC=AB×AH si AB et AH ont même sens (Cas n°1).

u.v=AB.AC=-AB×AH si AB et AH ont des sens opposés (Cas n°2).

 

 

Remarques

La projection orthogonale de B sur la droite AB est B, d’où u.u=AB.AB=AB×AB=AB2>0, on note u.u o par u2 , et on lit le carré scalaire.

u2 est un nombre positif de même que AB2 est un nombre positif.

On a AB2=AB2=AB2, d'où AB=AB2, et de même on a u=u2

 

II- Forme trigonométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls

 

Activité

u et v deux vecteurs non nuls du plan tel que u=AB et v=AC.

 H est la projection orthogonale de C sur la droite AB (AB car u0),

On considère l’angle (AB,AC^) de mesure AB,AC¯α 2π

  1. Pour chaque cas exprimer AH en fonction de AC et cosα.

 

 

Propriété

u et v deux vecteurs non nuls du plan tel que u=AB et v=AC et u,v¯=AB,AC¯α 2π

La forme trigonométrique du produit scalaire de u et v est : AB.AC=AB×AC×cosα, ou encore u.v=u×v×cosα

Remarque

Le produit scalaire des vecteurs v=CD et u=AB est le nombre réel AB.CD=AB.C'D' tel que C' et D' sont respectivement les projections orthogonales de C et D sur la droite (AB) :

 

III- Orthogonalité de deux vecteurs

 

Activité

u et v deux vecteurs non nuls du plan tel que u=AB et v=AC.

  1. Donner la forme trigonométrique de u.v.
  1. Donner la condition nécessaire et suffisante pour que u et v soient orthogonales.

 

 

Propriété

u et v deux vecteurs non nuls du plan.

Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u.v=0

On note uv.

 

IV- Propriétés du produit scalaire

 

Propriétés

Soient u et v et w trois vecteurs du plan P

On a :

1. Linéarité du produit scalaire :

u+v.w=u.w+v.ww.u+v=w.u+w.vαu.v=uαv=α×u.v

2. Positivité du produit scalaire :

u20

3. produit scalaire est non dégénéré :

u.u=0u=0

 

 

Conséquences

Soient u et v deux vecteurs du plan P

On a :

1 u+v2=u2+2u.v+v2=u2+2u.v+v22 u-v2=u2-2u.v+v2=u2-2u.v+v23 u+v.u-v=u2-v2=u2-v24 u.v=12u+v2-u2-v2

 

V- Applications du produit scalaire

 

5-1/ Relations métriques dans un triangle rectangle

Activité

ABC est un triangle rectangle en A.

Le point H est la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

  1. Calculer cosB en utilisant les deux triangles ABC et ABH.
  1. Montrer que BA2=BH×BC.
  1. Montrer que AH2=AB2-HB2, et que AH2=AC2-HC2.
  1. En déduire que 2AH2=BC2-HB2+HC2.

On remarque que HB+HC2-2HB×HC=BC2-2HB×HC.

  1. En déduire que AH2=HB×HC.

 

 

Propriété

ABC est un triangle rectangle en A.

Le point H est la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On a :

BC2=BA2+AC2BA2=BH×BCCA2=CH×CBAH2=HB×HC

On les appelle les relations métriques dans un triangle rectangle.

 

 

5-2/ Théorème d’El Kashi

Théorème

Dans tout triangle ABC, on pose AB=c et AC=b et BC=a.

On a :

1- BC2=BA2+AC2-2AB×AC×cosA ou encore a2=c2+b2-2c×b×cosA

2- AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB ou encore b2=c2+a2-2c×a×cosB

3- AB2=AC2+CB2-2AC×CB×cosC ou encore c2=b2+a2-2b×a×cosC

 

 

5-3/ Théorème de la médiane

Théorème

Soit un segment AB du plan P, le point I est son milieu.

Pour tout point M du plan P, on a :

MA2+MB2=2MI2+12AB2

VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

Soient u et v deux vecteurs du plan.

  1. Calculer u.v dans les deux cas suivants :

1 u=1 ; v=3 ; u.v¯π62π2 u=2 ; v=22 ; u.v¯5π42π

Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB=4.

  1. Calculer AC.CB.

Soient u et v deux vecteurs du plan.

 3. Déterminer les mesures possibles de l’angle orienté u.v¯ sachant que u=4, v=2 et u.v=-26.

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que AB=3 et BC=33.

  1. Calculer CA.CB.
  1. En déduire CAB^ .

 

 

6-2/ Exercice 2

Soient u et v deux vecteurs orthogonaux du plan tels que u=4 et v=5.

  1. Déterminer le réel m sachant que mu+v.u+v=13.cosA^=-122.

Soit ABC un triangle tel que AB=1AC=2 et cosA^=-122.

  1. Calculer AB.AC.

Considérons D un point du plan défini par AD=13AB+2AC.

  1. Calculer AB.AD.

 

 

6-3/ Exercice 3

ABCD est un parallélogramme tel que BAD^=π3 et AD=4 et CD=6.
 
Soit O le milieu du segment AB.

  1. Calculer les distances BD et AC.
  1. Montrer que pour tout point M du plan, on a MA2+MB2=2MO2+18.
  1. En déduire l’ensemble des points M du plan tel que MA2+MB2=24.

Soient ABC un triangle rectangle en A, et H le projeté orthogonal de A sur (BC) et AB=3 et AC=4.

  1. Calculer les longueurs BC, HCHB et AH.

 

 

6-4/ Exercice 4

Soit ABC un triangle tel que AB=3 et AC=1 et cosBAC^=-13.

  1. Vérifier que AB.AC=-1.
  1. Calculer la distance BC.

Soient I et J les milieux respectifs de BC et AC.   

  1. Calculer AI et BJ.

Soit E un point du plan tel que AE=49AB.