Séance 10-2-2 : Structures algébriques - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

IIX- Exercices II

8-1/ Exercice 2-1

8-2/ Exercice 2-2

8-3/ Exercice 2-3

8-4/ Exercice 2-4

IIX- Exercices II

8-1/ Exercice 2-1

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau de zéro $O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et d’unité $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, et que $\left(\mathrm{ℂ};+;\times \right)$ est un corps commutatif.

Pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$, on pose : $M\left(a;b\right)=\left(\begin{array}{cc}a& a-b\\ b& a+b\end{array}\right)$

On considère l’ensemble : $E=\left\{M\left(a;b\right)/\left(a;b\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right\}$

1. Montrer que $E$ est un sous-groupe de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+\right)$.

2. Calculer $J^2=J\times J$ où $J=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, puis en déduire que $E$ n’est pas une partie stable de $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$.

On définit sur l’ensemble ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$ une loi de composition interne $*$ par $A*B=A\times N\times B$ avec $N=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$

On considère l’application $\phi$ de $\mathrm{ℂ}*$ dans ${\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right)$ et qui, à chaque nombre complexe non nul $a+ib$($a$ et $b$ deux réels), la matrice $M\left(a;b\right)$.

3. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $\left(\mathrm{ℂ}*;\times \right)$ dans $(E,*)$

On pose : $E*=E-\left\{O\right\}$

4. Montrer que $\phi \left(\mathrm{ℂ}*\right)=E*$

5. Montrer que $\left(E*;*\right)$ est un groupe commutatif.

6. Montrer que pour tout $\left(A;B;C\right)\in E^3$ : $A*\left(B+C\right)=A*B+A*C$

7. En déduire de ce qui précède que $\left(E;+;*\right)$ est un corps commutatif.

IIX- Exercices II

8-2/ Exercice 2-2

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau non commutatif.

On considère l’ensemble :

$E=\left\{M\left(x\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ x& 1& 0\\ x^2& 2x& 1\end{array}\right)/x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

1. Montrer que $E$ est une partie stable de $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$

2. Montre que l’application $\phi$ qui, à tout réel $x$, associe la matrice $M\left(x\right)$ de $E$, est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ dans $\left(E;\times \right)$.

3. En déduire que $\left(E;\times \right)$ est un groupe commutatif.

4. Déterminer ${\left(M\left(x\right)\right)}^{-1}$, la matrice inverse de $M\left(x\right)$

5. Résoudre dans $E$ l’équation $A^{5}X=B$ où $A=M\left(2\right)$, $B=M\left(12\right)$ et $A^5=A\times A\times A\times A\times A$

6. Montrer que l’ensemble $F=\left\{M\left(\ln x\right)/x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}\right\}$ est un sous-groupe du groupe $\left(E;\times \right)$

IIX- Exercices II

8-3/ Exercice 2-3

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau d'unité $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, et que $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ est un groupe commutatif.

Soit $a$ un réel strictement positif.

Soit $E$ le sous-ensemble de $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ définie par :

$E=\left\{M\left(x\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}^x& 0& 0\\ 0& 1& x\\ 0& 0& 1\end{array}\right)/x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

1. Montrer que $E$ est stable dans $\left({\mathbb{M}}_3\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$

2. Montrer que l’application $\phi$ définie par $\phi \left(x\right)=M\left(x\right)$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ dans $\left(E;\times \right)$.

3. Montrer de deux façons différentes que $\left(E;\times \right)$ est un groupe commutatif.

IIX- Exercices II

8-4/ Exercice 2-4

On rappelle que $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);+;\times \right)$ est un anneau d’unité $I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, et que $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ est un groupe commutatif.

Pour tout réel $x$, on pose : $M\left(x\right)=\left(\begin{array}{cc}1-x& x\\ -2x& 1+2x\end{array}\right)$

On considère l’ensemble : $E=\left\{M\left(x\right)/x\in \mathrm{ℝ}\right\}$

On munit $E$ d’une loi de composition interne $T$ donnée par :

$\left(\forall \left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) M\left(x\right)TM\left(y\right)=M\left(x+y+1\right)$

Soit $\phi$ l’application définie de $\mathrm{ℝ}$ dans $E$ par :

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \phi \left(x\right)=M\left(x-1\right)$

1. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ dans $\left(E;T\right)$.

2. Montrer que $\left(E;T\right)$ est un groupe commutatif.

3. Montrer que pour tout $\left(x;y\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2$ : $M\left(x\right)\times M\left(y\right)=M\left(x+y+xy\right)$

4. En déduire que $E$ est stable dans( $\left({\mathbb{M}}_2\left(\mathrm{ℝ}\right);\times \right)$, et que la loi $« \times »$ est commutative dans $E$.

5. Montrer que la loi $« \times »$ est distributive par rapport à la loi $« T »$ dans $E$.

6. Vérifier que $M\left(-1\right)$ est l’élément neutre dans $\left(E;T\right)$, et que $I$ est l’élément neutre dans $\left(E;\times \right)$.

7. Vérifier que pour tout $x\in \mathrm{ℝ}-\left\{-1\right\}$ : $M\left(x\right)\times M\left(\frac{-x}{1+x}\right)=I$

8. Montrer que $\left(E;T;\times \right)$ est un corps commutatif.