Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 10-2-2 : Structures algébriques - Partie 2 (Exercices)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

IIX- Exercices II

8-1/ Exercice 2-1

8-2/ Exercice 2-2

8-3/ Exercice 2-3

8-4/ Exercice 2-4

 


 

8-1/ Exercice 2-1

On rappelle que M2;+;× est un anneau de zéro O=0000 et d’unité I=1001, et que ;+;× est un corps commutatif.

Pour tous a et b de , on pose : Ma;b=aa-bba+b

On considère l’ensemble : E=Ma;b/a;b2

  1. Montrer que E est un sous-groupe de M2;+.
  1. Calculer J2=J×JJ=1101, puis en déduire que E n’est pas une partie stable de M2;×.

On définit sur l’ensemble M2 une loi de composition interne * par A*B=A×N×B avec N=1-101

On considère l’application φ de * dans M2 et qui, à chaque nombre complexe non nul a+ib (a et b deux réels), la matrice Ma;b.

  1. Montrer que φ est un morphisme de *;× dans (E,*)

On pose : E*=E-O

  1. Montrer que φ*=E*
  1. Montrer que E*;* est un groupe commutatif.
  1. Montrer que pour tout A;B;CE3 : A*B+C=A*B+A*C
  1. En déduire de ce qui précède que E;+;* est un corps commutatif.

 

 

8-2/ Exercice 2-2

On rappelle que M3;+;× est un anneau non commutatif.

On considère l’ensemble :

E=Mx=100x10x22x1/x

  1. Montrer que E est une partie stable de M3;×
  1. Montre que l’application φ qui, à tout réel x, associe la matrice Mx de E, est un isomorphisme de ;+ dans E;×.
  1. En déduire que E;× est un groupe commutatif.
  1. Déterminer Mx-1, la matrice inverse de Mx
  1. Résoudre dans E l’équation A5X=BA=M2, B=M12 et A5=A×A×A×A×A
  1. Montrer que l’ensemble F=Mlnx/x+* est un sous-groupe du groupe E;×

 

 

8-3/ Exercice 2-3

On rappelle que M3;+;× est un anneau d'unité I=100010001, et que ;+ est un groupe commutatif.

Soit a un réel strictement positif.

Soit E le sous-ensemble de M3;+;× définie par :

E=Mx=ax0001x001/x

  1. Montrer que E est stable dans M3;×
  1. Montrer que l’application φ définie par φx=Mx est un isomorphisme de ;+ dans E;×.
  1. Montrer de deux façons différentes que E;× est un groupe commutatif.

 

 

8-4/ Exercice 2-4

On rappelle que M2;+;× est un anneau d’unité I=1001, et que ;+ est un groupe commutatif.

Pour tout réel x, on pose : Mx=1-xx-2x1+2x

On considère l’ensemble : E=Mx/x

On munit E d’une loi de composition interne T donnée par :

x;y2 MxTMy=Mx+y+1

Soit φ l’application définie de  dans E par :

x φx=Mx-1

  1. Montrer que φ est un morphisme de ;+ dans E;T.
  1. Montrer que E;T est un groupe commutatif.
  1. Montrer que pour tout x;y2 : Mx×My=Mx+y+xy
  1. En déduire que E est stable dans( M2;×, et que la loi « × » est commutative dans E.
  1. Montrer que la loi « × » est distributive par rapport à la loi « T » dans E.
  1. Vérifier que M-1 est l’élément neutre dans E;T, et que I est l’élément neutre dans E;×.
  1. Vérifier que pour tout x--1 : Mx×M-x1+x=I
  1. Montrer que E;T;× est un corps commutatif.