Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 10-1-1 : Structures algébriques - Partie 1 (Cours)
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
2-2/ L'élément neutre
2-3/ Symétrique d'un élément
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
3-2/ Propriétés d'un morphisme
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
Définition 1
On appelle loi de composition interne sur un ensemble E, toute application de E×E dans E.
Traditionnellement, on utilise la notation x*y pour désigner l’image d'un couple (x;y)∈E×E par une loi * plutôt qu’une notation fonctionnelle.
On note (E;*) un ensemble E muni d'une loi de composition interne « * ».
I- Loi de composition interne
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
Applications
Pour tous x et y de ℝ-{12}, on pose : x*y=x+y-2xy.
- Montrer que * est une loi de composition interne sur ℝ-{12}.
Sur l’intervalle I=]-1;1[, on définit la relation ⊥ par : (∀(x;y)∈I2) x⊥y=x+y1+xy
- La relation ⊥ est-elle une loi de composition interne sur I ? Justifier.
On considère l’ensemble E={f1,f2,f3,f4} où les fonctions fi(i∈{1;2;3;4}) des fonctions numériques définies de ℝ* vers ℝ* par :
f1:x↦x ; f2:x↦-x ; f3:x↦1x ; f4:x↦-1x
- Dresser la table de (E;∘).
- Montrer que ∘ (composition des fonctions) est une loi de composition interne sur E.
I- Loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
Définition 2
Soit (E;*) un ensemble muni d'une loi de composition interne et F une partie de E.
On dit que F est stable par * si : (∀(x;y)∈F2) x*y∈F
La loi de composition interne alors définie sur F par F2→F(x;y)↦x*y est appelée loi induite par * sur F.
I- Loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
Applications
On considère l’ensemble S={x2+y2/(x;y)∈ℕ2}
- Montrer que S est une partie stable de (ℕ;×).
- L’ensemble S est-il stable pour l’addition dans ℕ ? Justifier.
On considère les ensembles A={3n×2m/(n;m)∈ℕ2} et B={n2/n∈ℕ}
- Étudier la stabilité de A pour l'addition et la multiplication dans ℕ.
- Étudier la stabilité de B pour l'addition et la multiplication dans ℕ.
On considère l’ensemble G={(100a10bc1)/(a;b;c)∈ℝ3}
- Montrer que G est une partie stable de (M3(ℝ);×)
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Définition 3
Soit (E;*) un ensemble muni d'une loi de composition interne.
On dit que la loi * est associative dans (E;*) si :
(∀(a;b;c)∈E3) (a*b)*c=a*(b*c)
On dit que la loi * est commutative dans (E;*) si :
(∀(a;b)∈E2) a*b=b*a
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Remarques
La loi * n'est pas commutative dans (E;*) signifie que :
(∃(a;b)∈E2) a*b≠b*a
La loi * n’est pas associative dans (E;*) signifie que :
(∃(a;b;c)∈E3) (a*b)*c≠a*(b*c)
Si la loi * est associative dans (E;*), alors on peut supprimer les parenthèses et écrire :
(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Applications
Étudier la commutativité et l’associativité de la loi de composition interne T définie sur E=ℤ×ℤ par :
(a;b)T(x;y)=(ax;ay+bx)
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Définition 5
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne.
Un élément e de (E;*) est dit neutre si : (∀x∈E) e*x=x*e=x
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Remarques
- Si la loi * est commutative dans (E;*), alors une des relations de la définition 5 suffit.
On peut prendre alors soit (∀x∈E) e*x=x , ou bien (∀x∈E) x*e=x .
- Si S est une partie stable de (E;*), et si e est neutre dans (E;*), alors cela n'implique pas que e est neutre dans (S;*).
À titre d'exemple : Prenons E=ℤ/6ℤ et S={ˉ0;ˉ2;ˉ4}
ˉ1 est neutre dans E et ˉ4 est neutre dans S.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Applications
On munit l’ensemble ℤ d’une loi de composition interne * définie par :
(∀(x;y)∈ℤ2) x*y=x+y-3
- Montrer que (ℤ;*) admet un élément neutre.
On considère l’ensemble : A={(αβ0α)/(α;β)∈ℝ2}
- Montrer que × est une loi de composition interne sur A.
- Est-ce-que (A;×) admet un élément neutre ? Justifier.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Proposition 1
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne.
Si e et e' sont deux éléments neutres pour la loi dans , alors .
Autrement dit : un élément neutre pour une loi de composition interne, lorsqu’il existe, est unique.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Définition 6
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne et possédant un élément neutre .
Un élément est dit symétrisable (ou inversible) pour s’il existe un élément tel que
Un tel élément (s’il existe) est appelé un symétrique (ou inverse) de pour .
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Remarques
Si est un symétrique de pour la loi , alors est un symétrique de pour la même loi.
Si la loi est commutative, alors on peut se contenter de l'une des relations ou .
Si est un symétrique de pour la loi , on dit alors que et sont symétriques dans .
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Proposition 2
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre .
Si un élément est symétrisable, alors, le symétrique de est unique.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Remarques
Le symétrique d’un élément se note :
- pour une loi notée multiplicativement et s’appelle inverse de .
- pour une loi notée additivement et s’appelle opposé de .
Lorsque est une bijection de dans , il n’y a donc pas ambiguïté dans la notation , il s’agit aussi bien de son application réciproque que de son inverse pour la loi .
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Proposition 3
Soit un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre .
Si et sont deux éléments symétrisables, alors est aussi symétrisable et son symétrique est , où et sont respectivement les symétriques de et .
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Applications
On munit d'une loi de composition interne définie comme suit :
- Montrer que la loi est associative.
- Montrer que admet un élément neutre que l’on déterminera.
- Déterminer les éléments symétrisables pour la loi .
- Montrer que le symétrique de est , et que le symétrique de est .
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
Définition 7
Soit un ensemble muni d'une loi de composition interne.
Un élément est dit régulier ou simplifiable si, et seulement si :
Remarque
Si la loi est commutative dans E, alors l’une des implications ou suffit pour que l’élément a soit régulier dans ..
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
Applications
On considère l’ensemble muni de la loi de composition interne définie par , où est le plus grand commun diviseur des entiers et .
Est-ce-que tout élément de est régulier dans ? Justifier.
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Définition 8
Soit et deux ensembles munis de lois de composition interne, et soit une application de dans .
On dit que est un morphisme de dans lorsque :
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Définition 9
Un morphisme s'appelle aussi un homomorphisme.
Un endomorphisme de est un morphisme de dans lui-même.
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Applications
Soit l'application définie de dans par (où )
- Montrer que est une application bijective.
Soit l’ensemble des applications quand varie sur .
- Déterminer l’application où .
- En déduire que la composition des applications est une loi de composition interne sur .
On considère l’application :
- Montrer que est un morphisme de dans .
III- Morphismes
3-2/ Propriétés d'un morphisme
Proposition 4
Soit un morphisme de dans .
1- est une partie stable de .
2- Si la loi est associative dans , alors la loi est associative dans .
3- Si la loi est commutative dans , alors la loi est commutative dans .
4- Si la loi admet un élément neutre dans , alors est un élément neutre dans .
5- Si la loi admet un élément neutre dans , et un élément admet un symétrique dans , alors admet un symétrique dans qui est .
III- Morphismes
3-2/ Propriétés d'un morphisme
Corollaire
Si est un isomorphisme de dans (c’est-à-dire morphisme bijectif), alors transfère les propriétés de la loi dans vers la loi de , et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi.
On exprime ce résultat en disant que et ont la même structure.