Mathématiques : 2Bac SMA-SMB
Séance 10-1-1 : Structures algébriques - Partie 1 (Cours)
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
Sommaire
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
2-2/ L'élément neutre
2-3/ Symétrique d'un élément
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
3-2/ Propriétés d'un morphisme
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-1/ Introduction
I- Loi de composition interne
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
Définition 1
On appelle loi de composition interne sur un ensemble E, toute application de E×E dans E.
Traditionnellement, on utilise la notation x*y pour désigner l’image d'un couple (x;y)∈E×E par une loi * plutôt qu’une notation fonctionnelle.
On note (E;*) un ensemble E muni d'une loi de composition interne « * ».
I- Loi de composition interne
1-2/ Définition d'une loi de composition interne
Applications
Pour tous x et y de ℝ-{12}, on pose : x*y=x+y-2xy.
- Montrer que * est une loi de composition interne sur ℝ-{12}.
Sur l’intervalle I=]-1;1[, on définit la relation ⊥ par : (∀(x;y)∈I2) x⊥y=x+y1+xy
- La relation ⊥ est-elle une loi de composition interne sur I ? Justifier.
On considère l’ensemble E={f1,f2,f3,f4} où les fonctions fi(i∈{1;2;3;4}) des fonctions numériques définies de ℝ* vers ℝ* par :
f1:x↦x ; f2:x↦-x ; f3:x↦1x ; f4:x↦-1x
- Dresser la table de (E;∘).
- Montrer que ∘ (composition des fonctions) est une loi de composition interne sur E.
I- Loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
Définition 2
Soit (E;*) un ensemble muni d'une loi de composition interne et F une partie de E.
On dit que F est stable par * si : (∀(x;y)∈F2) x*y∈F
La loi de composition interne alors définie sur F par F2→F(x;y)↦x*y est appelée loi induite par * sur F.
I- Loi de composition interne
1-3/ Partie stable - Loi induite
Applications
On considère l’ensemble S={x2+y2/(x;y)∈ℕ2}
- Montrer que S est une partie stable de (ℕ;×).
- L’ensemble S est-il stable pour l’addition dans ℕ ? Justifier.
On considère les ensembles A={3n×2m/(n;m)∈ℕ2} et B={n2/n∈ℕ}
- Étudier la stabilité de A pour l'addition et la multiplication dans ℕ.
- Étudier la stabilité de B pour l'addition et la multiplication dans ℕ.
On considère l’ensemble G={(100a10bc1)/(a;b;c)∈ℝ3}
- Montrer que G est une partie stable de (M3(ℝ);×)
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Définition 3
Soit (E;*) un ensemble muni d'une loi de composition interne.
On dit que la loi * est associative dans (E;*) si :
(∀(a;b;c)∈E3) (a*b)*c=a*(b*c)
On dit que la loi * est commutative dans (E;*) si :
(∀(a;b)∈E2) a*b=b*a
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Remarques
La loi * n'est pas commutative dans (E;*) signifie que :
(∃(a;b)∈E2) a*b≠b*a
La loi * n’est pas associative dans (E;*) signifie que :
(∃(a;b;c)∈E3) (a*b)*c≠a*(b*c)
Si la loi * est associative dans (E;*), alors on peut supprimer les parenthèses et écrire :
(a*b)*c=a*(b*c)=a*b*c
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-1/ Associativité - Commutativité
Applications
Étudier la commutativité et l’associativité de la loi de composition interne T définie sur E=ℤ×ℤ par :
(a;b)T(x;y)=(ax;ay+bx)
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Définition 5
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne.
Un élément e de (E;*) est dit neutre si : (∀x∈E) e*x=x*e=x
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Remarques
- Si la loi * est commutative dans (E;*), alors une des relations de la définition 5 suffit.
On peut prendre alors soit (∀x∈E) e*x=x , ou bien (∀x∈E) x*e=x .
- Si S est une partie stable de (E;*), et si e est neutre dans (E;*), alors cela n'implique pas que e est neutre dans (S;*).
À titre d'exemple : Prenons E=ℤ/6ℤ et S={ˉ0;ˉ2;ˉ4}
ˉ1 est neutre dans E et ˉ4 est neutre dans S.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Applications
On munit l’ensemble ℤ d’une loi de composition interne * définie par :
(∀(x;y)∈ℤ2) x*y=x+y-3
- Montrer que (ℤ;*) admet un élément neutre.
On considère l’ensemble : A={(αβ0α)/(α;β)∈ℝ2}
- Montrer que × est une loi de composition interne sur A.
- Est-ce-que (A;×) admet un élément neutre ? Justifier.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-2/ L'élément neutre
Proposition 1
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne.
Si e et e' sont deux éléments neutres pour la loi * dans E, alors e=e'.
Autrement dit : un élément neutre pour une loi de composition interne, lorsqu’il existe, est unique.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Définition 6
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne et possédant un élément neutre e.
Un élément a∈E est dit symétrisable (ou inversible) pour * s’il existe un élément a'∈E tel que a*a'=a'*a=e
Un tel élément a' (s’il existe) est appelé un symétrique (ou inverse) de a pour *.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Remarques
Si a' est un symétrique de a pour la loi *, alors a est un symétrique de a' pour la même loi.
Si la loi * est commutative, alors on peut se contenter de l'une des relations a*a'=e ou a'*a=e.
Si a' est un symétrique de a pour la loi *, on dit alors que a et a' sont symétriques dans (E;*).
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Proposition 2
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre e.
Si un élément a∈E est symétrisable, alors, le symétrique de a est unique.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Remarques
Le symétrique d’un élément a se note :
- a-1 pour une loi notée multiplicativement et s’appelle inverse de a.
- -a pour une loi notée additivement et s’appelle opposé de a.
Lorsque f est une bijection de E dans E, il n’y a donc pas ambiguïté dans la notation f-1, il s’agit aussi bien de son application réciproque que de son inverse pour la loi ∘.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Proposition 3
Soit (E;*) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre e.
Si a et b sont deux éléments symétrisables, alors a*b est aussi symétrisable et son symétrique est (a*b)'=b'*a', où a' et b' sont respectivement les symétriques de a et b.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-3/ Symétrique d'un élément
Applications
On munit ℝ d'une loi de composition interne définie comme suit :
(∀(x;y)∈ℝ2) x*y=x+y+12xy
- Montrer que la loi * est associative.
- Montrer que * admet un élément neutre que l’on déterminera.
- Déterminer les éléments symétrisables pour la loi *.
- Montrer que le symétrique de -1 est 2, et que le symétrique de 6 est -3.
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
Définition 7
Soit (E;*) un ensemble muni d'une loi de composition interne.
Un élément a∈E est dit régulier ou simplifiable si, et seulement si :
(∀(x;y)∈E2) {a*x=a*y⇒x=y 1x*a=y*a⇒x=y 2
Remarque
Si la loi * est commutative dans E, alors l’une des implications 1 ou 2 suffit pour que l’élément a soit régulier dans (E;*)..
II- Propriétés d'une loi de composition interne
2-4/ Élément régulier d'une loi de composition interne
Applications
On considère l’ensemble ℕ* muni de la loi de composition interne définie par a∧b=c, où c est le plus grand commun diviseur des entiers a et b.
Est-ce-que tout élément de ℕ* est régulier dans (ℕ*;∧) ? Justifier.
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Définition 8
Soit (E;*) et (F;T) deux ensembles munis de lois de composition interne, et soit f une application de E dans F.
On dit que f est un morphisme de (E;*) dans (F;T) lorsque :
(∀(x;y)∈E2) f(x*y)=f(x)Tf(y)
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Définition 9
Un morphisme s'appelle aussi un homomorphisme.
Un endomorphisme de (E;*) est un morphisme de (E;*) dans lui-même.
Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
III- Morphismes
3-1/ Définition d'un morphisme
Applications
Soit fa l'application définie de ℝ2 dans ℝ2 par (∀(x;y)∈ℝ2) fa(x;y)=(ax;ya) (où a∈ℝ*)
- Montrer que fa est une application bijective.
Soit F l’ensemble des applications fa quand a varie sur ℝ*.
- Déterminer l’application fa'∘fa où (a;a')∈(ℝ*)2.
- En déduire que la composition des applications ∘ est une loi de composition interne sur F.
On considère l’application :
h:ℝ*→F a↦fa
- Montrer que h est un morphisme de (ℝ*;×) dans (F;∘).
III- Morphismes
3-2/ Propriétés d'un morphisme
Proposition 4
Soit f un morphisme de (E;*) dans (F;T).
1- f(E) est une partie stable de (F;T).
2- Si la loi * est associative dans (E;*), alors la loi T est associative dans (f(E);T).
3- Si la loi * est commutative dans (E;*), alors la loi T est commutative dans (f(E);T).
4- Si la loi * admet un élément neutre e dans (E;*), alors f(e) est un élément neutre dans (f(E);T).
5- Si la loi * admet un élément neutre e dans (E;*), et un élément x admet un symétrique x' dans (E;*), alors f(x) admet un symétrique dans (f(E);T) qui est f(x').
III- Morphismes
3-2/ Propriétés d'un morphisme
Corollaire
Si f est un isomorphisme de (E;*) dans (F;T) (c’est-à-dire morphisme bijectif), alors f transfère les propriétés de la loi * dans (E;*) vers la loi T de (F;T), et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi.
On exprime ce résultat en disant que (E;*) et (F;T) ont la même structure.