Séance 8 - Les limites d’une fonction numérique

Sommaire

I- Limite infinie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ et en $-\infty$

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-1/ Limite finie d’une fonction en un point

3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point

IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un point

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite d’une somme

5-2/ Limite d’un produit

5-3/ Limite de l’inverse

5-4/ Limite d’un quotient

VI- Limites de fonctions particulières

6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle

6-2/ Limites des fonctions irrationnelles

6-3/ Limites des fonctions trigonométriques

VII- Théorème de comparaison

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

I- Limite infinie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Activité

Considérons la fonction $f$ définie par : $f\left(x\right)=x^2$

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$

2. Compléter le tableau suivant :

3. Que remarquer pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand $x$ tend vers $+\infty$).

4. Que remarquer pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand $x$ tend vers $-\infty$).

5. Conjecturer les limites suivantes : $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3$

I- Limite infinie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Remarque

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : $[a,+\infty [ \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$

Si $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$, on écrit : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ou $\underset{+\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

On peut exprimer aussi par des phrases les symboles suivantes :

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$
• $\left\{\begin{array}{l}\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{array}\right.$ (Il faut que $]-\infty ,a]\in D_f$).

I- Limite infinie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Limites usuelles

On admet les limites suivantes :

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Activité

Considérons la fonction $f$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$

1. Représenter graphiquement la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$

2. Compléter le tableau suivant :

3. Que remarquer pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ prend des valeurs positives de plus en plus grands (c-à-d quand $x$ tend vers $+\infty$).

4. Que remarquer pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ prend des valeurs négatives de plus en plus (c-à-d quand $x$ tend vers $-\infty$).

5. Conjecturer les limites suivantes : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^3}$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^3}$

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Remarque

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : $[a,+\infty [ \left(a\in \mathrm{ℝ}\right)$, et soit $l\in \mathrm{ℝ}$

Si $f\left(x\right)$ tend vers le nombre $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$, on écrit : $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l$ ou $\underset{+\infty }{\lim }f\left(x\right)=l$

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme : $[-\infty ,b[ \left(b\in \mathrm{ℝ}\right)$, et soit $l\text{'}\in \mathrm{ℝ}$

Si $f\left(x\right)$ tend vers le nombre $l\text{'}$ quand $x$ tend vers $-\infty$, on écrit : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\text{'}$ ou $\underset{-\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\text{'}$

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Interprétation géométrique

La courbe $\left(C_f\right)$ se rapproche de la droite d’équation $y=l$ au voisinage de $\infty$.

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Propriété 1

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

En général : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*\right) : \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=0$

On a aussi : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}}=0$

II- Limite finie d’une fonction en $+\infty$ ou en $-\infty$

Propriété 2

Soit $f$ une fonction numérique et $l\in \mathrm{ℝ}$.

- Si f admet en $+\infty$ (ou en $-\infty$) une limite, alors cette limite est unique.

- $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-l=0$

- $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\iff \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)-l=0$

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-1/ Limite finie d’une fonction en un point

Définition

Soit $a\in \mathrm{ℝ}$ et $l\in \mathrm{ℝ}$ et soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $I=]a-r;a+r[$ où $r>0$, ou sur un intervalle de la forme $I=]a-r;a+r[-\left\{a\right\}$.

Si $f\left(x\right)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $a$ alors on note : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=l$

Soit $f$ une fonction numérique et $l\in \mathrm{ℝ}$.

- Si f admet en $+\infty$ (ou en $-\infty$) une limite, alors cette limite est unique.

- $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\iff \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-l=0$

- $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=l\iff \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)-l=0$

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-1/ Limite finie d’une fonction en un point

Propriété

Si $f$ admet une limite finie $l$ en $a$ alors cette limite est unique.

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $I=]a-r;a+r[-\left\{a\right\}$.

Si $f\left(x\right)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ alors on note : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

On définie de la même façon : $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

III- Limite finie et limite infinie d’une fonction en un point

3-2/ Limite infinie d’une fonction en un point

Exercice

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }2x^2-3 \\ \underset{x\to 2}{\lim }2x^2-3 \\ \underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2+1}{4x-2} \\ \underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1} \\ \underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2} \end{gathered}$$

III- Limite IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un pointet limite infinie d’une fonction en un point

Activité

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=\frac{\left|x-1\right|\left(x+2\right)}{x-1}$

1. Déterminer $D_f$.

2. Construire la courbe $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$.

3. À partir de la représentation graphique, que-remarque-t-on pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ tend vers $1$ et $x>1$

4. Que-remarque-t-on pour les valeurs de $f\left(x\right)$ quand $x$ tend vers $1$ et $x<1$

III- Limite IV- Limite à droite et limite à gauche d’une fonction en un pointet limite infinie d’une fonction en un point

Théorème

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de centre $a$, on a :

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=l\iff \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=l \\ \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \iff \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty \end{gathered}$$

V- Opérations sur les limites

5-1/ Limite d’une somme

V- Opérations sur les limites

5-2/ Limite d’un produit

V- Opérations sur les limites

5-3/ Limite de l’inverse

V- Opérations sur les limites

5-4/ Limite d’un quotient

VI- Limites de fonctions particulières

6-1/ Limite d’une fonction polynôme - Limite d’une fonction rationnelle

Propriété

Soient $P$ et $Q$ deux fonctions polynômes et $a\in \mathrm{ℝ}$, alors on a :

- $\underset{x\to a}{\lim }P\left(x\right)=P\left(a\right)$

- Si $Q\left(a\right)\ne 0$, alors : $\underset{x\to a}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{P\left(a\right)}{Q\left(a\right)}$

- Si $a{x}^n$ et $b{x}^m$ sont des termes de plus haut degré de $P$ et $Q$ respectivement ($a,b\in \mathrm{ℝ}$ et $m,n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$), alors :

$\underset{x\to +\infty }{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }a{x}^n$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a{x}^n}{b{x}^m}$

VI- Limites de fonctions particulières

6-2/ Limites des fonctions irrationnelles

Propriété

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme $[a,+\infty [$, avec $\left(\forall x\in [a,+\infty [\right) f\left(x\right)\ge 0$

- Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l$ et $l\ge 0$, alors : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{l}$

- Si $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, alors : $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=+\infty$

VI- Limites de fonctions particulières

6-3/ Limites des fonctions trigonométriques

Propriété

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1 ; \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} \\ \left(\forall a\in \mathrm{ℝ}\right) \underset{x\to a}{\lim }\cos \left(x\right)=\cos \left(a\right) et \underset{x\to a}{\lim }\sin \left(x\right)=\sin \left(a\right) \\ \left(\forall a\in \mathrm{ℝ}-\left\{\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k\mathrm{\pi }/\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\right\}\right) \underset{x\to a}{\lim }\tan \left(x\right)=\tan \left(a\right) \\ \left(\forall a\in \mathrm{ℝ}*\right) \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(ax\right)}{x}=a et \underset{x\to 0}{\lim }\frac{t\mathrm{an}\left(ax\right)}{x}=a \end{gathered}$$

VII- Théorème de comparaison

Théorème

Soit $I$ un intervalle de la forme $[a,+\infty [$ et $l\in \mathrm{ℝ}$ et soient $f$, $u$ et $v$ des fonctions définies sur $I$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) f\left(x\right)\ge u\left(x\right)\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=+\infty \end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty \\ \overline{)2} \left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) f\left(x\right)\le u\left(x\right)\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=-\infty \end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \\ \overline{)3} \left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) u\left(x\right)\le f\left(x\right)\le v\left(x\right)\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }v\left(x\right)=l\end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l \\ \overline{)4} \left\{\begin{array}{l}\left(\forall x\in I\right) \left|f\left(x\right)-l\right|\le u\left(x\right)\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }u\left(x\right)=0\end{array}\right.\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=l \end{gathered}$$

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

1. Déterminer les limites suivantes :

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$

1. Déterminer $D_f$.
2. Calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.

Soit $g$ la fonction définie par : $\left\{\begin{array}{l}g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}} ; x>0\\ g\left(x\right)=x^2 ; x\le 0\end{array}\right.$

4. Déterminer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }g\left(x\right)$

5. Est que la fonction $g$ admet une limite en $0$ ?

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

1. Calculer les limites suivantes :

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

1. Calculer les limites suivantes :

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 5

1. Calculer les limites suivantes :

IIX- Exercices

8-6/ Exercice 6

1. Calculer les limites suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2+x-5}{x-3}= \\ \overline{)2} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x^2+x+1}{5x^4+x-8}= \\ \overline{)3} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-4x+3}{x^2+x+1}= \\ \overline{)4} \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x+3}= \\ \overline{)5} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1-x^2}{x-6}= \\ \overline{)6} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}= \end{gathered}$$