Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

I- Exercice 1 (9 pts)

Soit $a\in \mathrm{ℂ}*$, on considère l’équation :

$\left(E\right) : z^2+\left[\left(1-a\right)i-a\right]z+a+a^{2}i=0$

1. Montrer que : $\Delta ={\left[\left(1+a\right)i-a\right]}^2$

2. Résoudre dans $\mathrm{ℂ}$ l’équation $\left(E\right)$.

3. Montrer que l’équation $\left(E\right)$ admet une seule solution$\iff a=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$

Supposons que $a\ne -1$, $a\ne -1$$a\ne -i$ et $a\ne \frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{i\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}$.

Soient $A\left(a\right)$, $B\left(ai\right)$, $C\left(a-i\right)$ et $D\left(-i\right)$.

4. Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont alignés$\iff arga\equiv \frac{3\mathrm{\pi }}{4}\left[\mathrm{\pi }\right]$

On pose $a=i$.

Soit $R$ la rotation de centre $B$ telle que $R\left(A\right)=D$.

5. Déterminer l'angle de la rotation $R$.

II- Exercice 2 (6 pts)

On considère l'application :

$$\begin{gathered} F : P\to P \\ M\left(z\right)\to M\left(z\text{'}\right)/z\text{'}=\left(1+i\right)z-i \end{gathered}$$

1. Montrer que $F$ admet un seul point invariant $A$.

2. Montrer que $AM\text{'}=\sqrt{2}AM$ et $\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM\text{'}}\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left[2\mathrm{\pi }\right]$.

3. Montrer que $AMM\text{'}$ est un triangle rectangle.

III- Exercice 3 (5 pts)

1. Résoudre dans $\mathrm{ℂ}$ : ${\left(z-i\right)}^5=i{\left(z+i\right)}^5$

2. Montrer que si l'équation $z^2-az+\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}=0 ; a\in \mathrm{ℂ}$ admet deux solutions $z_1$  et $z_2$, alors : $arg\left(z_1\right)+arg\left(z_2\right)\equiv \frac{\mathrm{\pi }}{3}\left[2\mathrm{\pi }\right]$ et $\left|z_1\right|\times \left|z_2\right|=1$.