Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

I- Exercice 1 (6 pts)

 

Soit la suite unn0 définie par : u0=2un+1=3un+4un+6

  1. Calculer u1 et u2.
  1. Vérifier que un+1-1=2un-1un+6 pour tout n.
  1. Montrer par récurrence que n : un>1.
  1. Vérifier que un+1-un=-un-1un+4un+6 pour tout n.
  1. Déduire la monotonie de unn0.

On pose vn=un+4un-1 pour tout n.

  1. Vérifier que : n : vn+1=7un+42un-1
  2. Déduire que vn est une suite géométrique de raison q=72, et calculer v0.
  3. Exprimer vn en fonction de n.
  4. En déduire un en fonction de n.

 

II- Exercice 2 (5 pts)

 

Soit un une suite numérique définie par :

u0=1n : un+1=15un+2

  1. Calculer u1 et u2.
  1. Montrer par récurrence que : n : un<52
  1. Vérifier que n : un+1-un=4552-un
  1. Déduire que la suite un est croissante.

On pose : n : vn=un-52

  1. Montrer que vn est une suite géométrique de raison q=15, et calculer v0.
  1. Exprimer vn en fonction de n, puis déduire un en fonction de n.

Pour tout entier naturel non nul n, on pose : S=v0+v1+.....+v20

  1. Calculer S.

 

III- Exercice 3 (4 pts)

 

Soit x.

  1. Exprimer en fonction de sinx et cosx :

Ax=sin-x+cos-x+sinπ+x+cosπ-xBx=cosπ+x+cosπ2-x-sinx-π2+sin5π2+xCx=cosπ2+x+cosx-3π-sin5π2-x

  1. Calculer Aπ4B-π3 et Cπ3.

 

IV- Exercice 4 (5 pts)

 

Pour tout x, on pose : Px=3cos3x+sin3x-3cosx-sinx

  1. Montrer que : x : Px=2cos3x-π6-2cosx-π6
  1. Résoudre dans  l’équation : Px=0
  1. Montrer que : x : Px=-4sinx.sin2x-π6
  1. Résoudre dans 0;π l’inéquation : sin2x-π60
  1. En déduire le tableau de signe de Px sur 0;π.