Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 6-1-1 : Nombres complexes - Partie 1 (Cours)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

Sommaire

 

I- L’ensemble des nombres complexes

1-1/ Notion de nombre complexe

1-2/ Forme algébrique d'un nombre complexe

1-3/ Égalité de deux nombres complexes

II- Opérations sur les nombres complexes

2-1/ Addition et multiplication dans

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

2-3/ Inverse d'un nombre complexe non nul - quotient de deux nombres complexes

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

IV- Conjugué d’un nombre complexe

4-1/ Définition et interprétation géométrique

4-2/ Propriétés du conjugué

V- Module d’un nombre complexe

5-1/ Définition et interprétation géométrique

5-2/ Propriétés du module

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

6-1/ Argument d'un nombre complexe non nul

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

6-3/ Angle de deux vecteurs et argument d'un complexe

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

 


I- L’ensemble des nombres complexes

 

1-1/ Notion de nombre complexe

Théorème 1

Il existe un ensemble noté  contenant  :

1- muni d’une addition notée + et d'une multiplication notée x, ou le plus souvent implicitement (c'est-à-dire sans symbole, comme dans ) possédant les mêmes propriétés comme dans .

2- possédant un élément noté i dont le carré vaut -1 : i2=-1.

3- où tout élément z, appelé nombre complexe ou complexe, s’écrit de manière unique sous la forme z=x+iy, avec x et y réels.

 

 

Remarques

- On a :

- L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

- Contrairement à , l'ensemble n'est usuellement muni d'aucune relation d’ordre, et nous ne pourrons donc pas dire qu’un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu’il est positif.

- Les nombres complexes x+iy et x+yi où (x;y)2 représentent le même nombre complexe.

- On a : =x+iy/x;y2

 

 

1-2/ Forme algébrique d'un nombre complexe

Définition 1

Étant donné z, il existe un unique couple (x;y)2 tel que z=x+iy.

L’écriture x+iy s'appelle la forme algébrique du nombre complexe z.

Le nombre x est la partie réelle de z notée Re(z) .

Le nombre y est la partie imaginaire de z notée Im(z) .

Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle : zIm(z)=0.

Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle :ziRe(z)=0.

 

 

1-3/ Égalité de deux nombres complexes

Proposition 1

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.

En d'autres termes :

z;z'2  z=z'Re(z)=Re(z') et Im(z)=Im(z')

 

Remarques

Le résultat de la proposition 1 est une conséquence immédiate de l'unicité de la forme algébrique d'un nombre complexe.

Pour tout nombre complexe z :

z;z'2  z=z'Re(z)=Re(z') et Im(z)=Im(z')

 

II- Opérations sur les nombres complexes

 

2-1/ Addition et multiplication dans

Proposition 2

Soit z et z' deux nombres complexes tels que : z=x+iy et z'=x'+iy' avec x;x';y;y'4.

On a :

1- z+z'=x+x'+iy+y' et z×z'=xx'-yy'+ixy'+yx'

2- Pour tout λ : λz=λx+iλy

 

 

Remarques

Pour tout z;z'2 et pour tout λ, on a :

Rez+z'=Rez+Rez'Imz+z'=Imz+Imz'Reλz=λRezImλz=λImz

Si k, alors i2k=i2k=-1k. Il en résulte donc :

i4k=1  ;  i4k+1=i  ;  i4k+2=-1  ;  i4k+3=-i

 

2-2/ Opposé d'un complexe - différence de deux complexes

Proposition 3

Tout nombre complexe z=x+iy, où x et y sont des réels, possède un opposé dans  noté -z, qui est le nombre complexe -x-iy, et on écrit -z =-x-iy.

Donc :

Re-z=-Rez et Im-z=-Imz

 

 

Définition 2

La différence de deux nombres complexes z et z' est le nombre z-z'=z+-z'.

 

 

Remarques

Si xx'y et y' sont des nombres réels, alors : (x+iy )-(x'+iy')=x-x'+i(y- y')

Les identités remarquables vues dans  restent aussi valables dans .

Ainsi, pour tous nombres complexes z1 et z2 on a :

(z1+z2)2=z12+2z1z2+z22(z1-z2)2=z12-2z1z2+z22(z1+z2)(z1-z2)=z12-z22

En particulier, on a les égalités suivantes, valables pour tout (a;b)2 :

(a+ib)2=a2-b2+2abi(a-ib)2=a2-b2-2abi(a+ib)(a-ib)=a2-b2

On a aussi :

(z1+z2)3=z13+3z12z2+3z1z22+z23(z1+z2)3=z13-3z12z2+3z1z22-z23z13-z23=(z1-z2)z12+z1z2+z22z13+z23=(z1+z2)z12-z1z2+z22

Et de façon générale, on a pour tout (z1;z2)2 et pour tout n* :

(z1+z2)n=p=0nCnp.z1p.z2n-p=q=0nCnq.z2q.z1n-q (Formule du binôme de Newton)

z1n-z2n=z1-z2z1n-1-z1n-2z2+...+z1z2n-2+z2n-1z1n-z2n=z1-z2k=0n-1z1n-k-1z2k

Un produit de nombres complexes est nul si, et seulement si, au moins un de ses facteurs est nul.

En particulier :

(z;z')2 z×z'=0z=0 ou z'=0

 

 

2-3/ Inverse d'un nombre complexe non nul - quotient de deux nombres complexes

Proposition 4

Soit z=x+iy un nombre complexe non nul tels que (x;y)2-0,0.

L’inverse du nombre z est le nombre complexe noté 1z ou z-1 tel que :

1z=1x+iy=1x2+y2x-iy=xx2+y2-iyx2+y2

 

 

Proposition 5

Soit z=x+iy et z'=x'+iy' deux complexes où xx'y et y' des réels tels que (x;y)(0;0).

Le quotient de z' par z est le nombre complexe noté z'z tel que z'z=z'×1z, et on a :

z'z=x'+iy'x+iy=xx'+yy'x2+y2+ixy'-yx'x2+y2

 

III- Représentation géométrique d’un nombre complexe

 

3-1/ Affixe d'un point - affixe d’un vecteur

Définition 3

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O;I,J).

Soit z=x+iy(x;y)2 un nombre complexe.

L’unique point M, de coordonnées (x;y) dans (O;I,J), est appelé l’image du complexe z, et on écrit M(z).

Soit M un point, de coordonnées (x;y) dans (O;I,J).

Le nombre complexe z=x+iy est appelé l'affixe du point M. On le note Aff(M) ou zM.

 

 

Remarques

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O;I,J).

À partir de la définition 3, on peut identifier l’ensemble  au plan de la façon suivante :

- À tout nombre complexe z=x+iy on associe le point M(x;y).

- À tout point M(x;y) du plan P on associe le nombre complexe z=x+iy.

Ainsi, l’application f:P   zMz est une bijection. Sa bijection réciproque est : f-1:P    MAffM

Le plan P est appelé alors le plan complexe, et on a :

M;NP2 AffM=AffNM=N

Tout point de l’axe des abscisses est l’image d’un nombre réel, c’est pourquoi l’axe des abscisses
s’appelle l’axe réel. On a alors : MzO;Iz

Tout point B0;b de l’axe des ordonnées est l’image d’un nombre imaginaire pur AffB=bi, c’est pourquoi l’axe des ordonnées s’appelle l’axe imaginaire. On a alors : MzO;Jzi

 

 

Définition 4

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct (O;I,J).

Soit z=x+iy un nombre complexe où .

Le vecteur u=x.I+y.J est appelé image du complexe z, et on écrit uz.

De même, le nombre z est appelé affixe du vecteur u, et on écrit Affu=z ou parfois zu=z.

 

Remarques

Soit z un nombre complexe.

On a : z=AffMz=AffOM

Soit V2 l'ensemble des vecteurs du plan.

L’application g:V2   zwz est une bijection de  vers V2, et on a :

u;vV22u=vAffu=Affv

 

 

3-2/ Interprétation géométrique de la somme, la différence et la multiplication par un réel

Proposition 6

Si v1 et v2 sont deux vecteurs du plan d'affixes respectives z1 et z2, alors l'affïxe du vecteur v1+v2 est z1+z2.

En d’autres termes : Affv1+v2=Affv1+Affv2.

Si M1 et M2 sont les images respectives des affixes z1 et z2, alors l’image du nombre z1+z2 est le point S tel que : OS=OM1+OM2 (C'est-à-dire OM1SM2 est un parallélogramme).

 

 

Remarques

Soit z un nombre complexe et u(z) et v(-z) deux vecteurs du plan.

On sait que Aff(0)=0 et z+(-z)=0, donc d'après la proposition 6, on en déduit que u+v=0.

Ainsi v=-u et alors : Aff(-u)=-Aff(u).

Soit M(z) et M'(-z). Comme O(0) et z+(-z)=0, alors OM+OM'=OO=0, et par suite OM'=-OM.

Ainsi, le point M'(-z) est le symétrique de point M(z) par rapport à O.

On peut aussi interpréter géométriquement l’addition de la manière suivante :

Étant donné un vecteur u d’affïxe a, la translation de vecteur u transforme le point M d’affixe z, en le point M' d’affixe z'=z+a.

 

 

Proposition 7

Soit M1(z1) et M2(z2) deux points du plan complexe.

Alors l’affixe du vecteur M1M2 est z2-z1.

En d'autres termes : AffM1M2=AffM2-AffM1

 

 

 

Proposition 8

Si u est un vecteur d'affixe z et λ un nombre réel, alors l’affixe du vecteur λu est λz.

En d’autres termes : Affλu=λ.Affu

Si M(z) est un point du plan, alors l'image du nombre complexe λz est le point P défini par : OP=λOM.

 

 

Remarque

A l’aide des propositions 6 et 8, on peut établir le résultat suivant :

Si v1 et v2 sont deux vecteurs du plan, alors pour tout λ1;λ22, on a :

Affλ1v1+λ2v2=λ1Affv1+λ2Affv2

 

 

3-3/ Interprétation complexe de la linéarité, du parallélisme et du barycentre

Proposition 9

Soient AB et C des points deux à deux distincts d’affixes respectives zAzB et zC.

Les points AB et C sont alignés si et seulement si : zC-zAzB-zA

 

 

Proposition 10

Soient AB, C et D quatre points du plan d'affixes respectives zAzB, zC et zD tels que AB et CD.

Les droites AB et (CD) sont parallèles si et seulement si : zD-zCzB-zA

 

 

Proposition 11

Soit A et B deux points du plan d'affixes respectives zA et zB, et soit α;β2 tel que α+β0.

L’affixe du barycentre G du système pondéré a;α;B;β est le complexe : zG=αzA+βzBα+β

 

 

Remarques

Si AzA et BzB alors l'affixe du milieu I du segment AB est le nombre complexe zI=zA+zB2.

En fait ceci n'est rien qu'un cas particulier du barycentre où les « poids » sont égaux.

On peut généraliser le résultat de la proposition 11 pour le barycentre de plus de deux points.

Plus précisément : si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et α1,α2,....,αn des réels tels que α1+α2+....+αn0, alors le barycentre G du système pondéré A1;α1,A2;α2,....,An;αn a pour affixe :

zG=α1zA1+α2zA2+...+αnzAnα1+α2+...+αn

 

IV- Conjugué d’un nombre complexe

 

4-1/ Définition et interprétation géométrique

Définition 5

Soit z=x+iy un nombre complexe avec (x;y)2.

On appelle conjugué de z le nombre complexe x-iy, noté z, et on écrit : z=x+iy = x-iy.

On a alors: z = Re(z)-iIm(z) et z=z

 

 

Interprétation géométrique de la conjugaison

Soit z=x+iy un nombre complexe avec (x;y)2.

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point M(x;y) en N(x;-y), d'affixe Aff(N)=Aff(M).

La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point M(x;y) en Q(-x;y),  d'affixe Aff(Q)=-Aff(M).

 

 

4-2/ Propriétés du conjugué

Proposition 12

Étant donné z, on a :

Rez=12z+zImz=12iz-zz.z=Rez2+Imz2

On a donc :

zz=zziz=-z

Remarque

En pratique, pour éliminer les complexes du dénominateur d'une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

 

 

Proposition 13

Soit z et z' deux nombres complexes.

On a alors les propriétés suivantes :

- z+z'=z+z' et z.z'=z.z'

- Pour tout λ : λz=λz

- Si z0, alors 1z=1z et z'z=z'z

- Si z0 et n, alors zn=zn

 

 

Remarques

1- Soit n2 , et z1,z2,...,zn des nombres complexes. Alors :

k=1nzk=k=1nzk     et   k=1nzk=k=1nzk

2- Soit P(z) un polynôme dans  à coefficients réels : P(z)=anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0

(les nombres a0, a1,...,an. an sont alors réels). On a alors pour tout z :

P(z)=anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0P(z)=anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0

Puisque pour tout entier k compris entre 1 et n (au sens large) : ak=ak et zk=zk

Alors P(z)=anzn+an-1zn-1+...+a1z+a0=P(z).

En particulier, si α est racine du polynôme P (c’est-à-dire P(α)=0), alors α est aussi racine de P car : P(α)=P(α)=0

On obtient alors le résultat important suivant :

« Si α est racine d'un polynôme à coefficients réels, alors α est aussi racine de ce polynôme »

 

V- Module d’un nombre complexe

 

5-1/ Définition et interprétation géométrique

Définition 6

Soit z=x+iy un nombre complexe avec (x;y)2.

Le module de z est le réel positif noté z défini par : z=z.z=x2+y2

On a alors : z=Rez2+Imz2

Remarques

La notion de module prolonge celle de la valeur absolue, c'est-à-dire que le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue.

On a pour tout z : z2=z.z et z=z. Si z0 alors : z=z2z

 

 

Interprétation géométrique du module

Étant donné z, d’image M, le module de z est la distance OM : z=OM=OM

Si u est un vecteur d'affixe z, alors : z=u

 

Proposition 14

La distance entre deux points A et B, d’affixes respectives a et b, est : AB=AB=b-a

 

 

Proposition 15

Soit a un nombre complexe et r un réel strictement positif. On note A l’image de a.

L'ensemble des images M(z) des nombres complexes z tels que :

  • z-a=r est le cercle C de centre A et de rayon r.
  • z-ar est le disque fermé D de centre A et de rayon r.
  • z-a<r est le disque ouvert Δ de centre A et de rayon r.

 

 

5-2/ Propriétés du module

Proposition 16

Soit z et z' deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :

- z0 et Rezz et Imzz

- z=0z=0 et z-z'=0z=z'

- z×z'=z×z'

- z=z=-z=-z

Si z0 et n alors : 1z=1z et z'z=z'z et zn=zn

Remarque

Si n est un entier supérieur ou égal à 2, et z1,z2,...,zn des nombres complexes, alors :

k=1nzk=k=1nzk

 

 

Proposition 17

Étant donné deux nombres complexes z et z', on a : z+z'z+z'

C'est l'inégalité triangulaire pour les nombres complexes.

 

 

VI- Forme trigonométrique d’un complexe

 

6-1/ Argument d'un nombre complexe non nul

Définition 7

Soit z un nombre complexe non nul, d’image M dans le plan complexe P.

Toute mesure θ de l'angle orienté I;OM^ s’appelle un argument de z.

On le note argz et on écrit : argzθ2π

 

 

Remarques

Soit z un nombre complexe non nul.

Si θ est un argument du nombre complexe z, alors tout nombre réel de la forme θ+2kπ avec k est aussi un argument de z.

Dans la pratique, on prend souvent θ dans l'intervalle ]-π,π], c'est-à-dire la mesure principale de l’angle I;OM^.

Le nombre 0 est l'unique nombre complexe qui n’a pas d'argument.

 

 

6-2/ Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Proposition 18

Soit z=x+iy un nombre complexe non nul avec (x;y)2 et θ un argument de z.

Alors x=zcosθ et y=zsinθ.

Tout nombre complexe non nul z s’écrit de manière unique sous la forme z=z(cosθ+isinθ), où θ est un argument de z.

 

 

Définition 8

Soit z un nombre complexe non nul et θ un argument de z.

L’écriture z=z(cosθ+isinθ) est appelée une écriture trigonométrique ou forme trigonométrique du nombre complexe z.

Notation simplifiée : z=z;θ

Remarque

Tout nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques.

Si z* alors : z=z(cosargz+isinargz)

 

 

Définition 9

Soit z un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe.

On pose r=OM et θ une mesure de l'angle I;OM^ argzθ2π.

Le couple r;θ est appelé le couple des coordonnées polaires du point M par rapport à l’axe polaire (O;I). Le point O est le pôle

 

Proposition 19

Soit z*.

Si z=r(cosθ+isinθ) tel que r* et θ, alors : z=r et θargz2π

 

 

Proposition 20

Soit z un nombre complexe non nul.

On a les équivalences suivantes :

z*argz0πz+*argz02πz-*argzπ2πzi*argzπ2πzi+*argzπ22πzi-*argz-π22π

 

 

Remarques

1- Les propositions 18 et 19 nous indiquent que toute écriture du genre r(cosθ+isinθ) avec r+* et θ est une forme géométrique d’un nombre complexe de module r et d’argument θ.

2- La proposition 20 nous facilite la détermination d’une forme trigonométrique d’un nombre réel ou imaginaire pur. En effet, si x est un nombre réel strictement positif, alors :

 

3- La détermination d’une écriture trigonométrique d’un nombre complexe non nul z est équivalente à la détermination de son module et d’un de ces arguments. Pratiquement :

Si z=x+iy avec (x;y)2-0,0 alors z=x2+y2, et donc :

zz=xx2+y2+iyx2+y2

Et si argzθ2π alors z=z(cosθ+isinθ), et donc :

zz=cosθ+isinθ

Par conséquent : cosθ=xx2+y2 et sinθ=yx2+y2

Ainsi, la connaissance de cosθ et sinθ permet la détermination d’un argument de z. (On pourra utiliser les boutons cos-1 et sin-1 de la calculatrice).

4- Si z=λ(cosθ+isinθ) avec λ-* alors z=-λ. Par suite : z=λ(cosθ+π+isinθ+π) est une forme trigonométrique du nombre z.

 

Proposition 21

Pour des nombres complexes non nuls z et z', on a :

z'=zz'=z et argz'argz2πz'=zz'=z et argz'-argz2πz'=-zz'=z et argz'π+argz2π

 

 

Corollaire

Soit z un nombre complexe non nul.

Si z=[r,θ] alors : z=[r,-θ] et -z=[r,π+θ].

En particulier, on a : argz-argz2π et arg-zπ+argz2π

 

Proposition 22

Soient z et z' deux nombres complexes non nuis tels que z=[r,θ] et z'=[r',θ']

On a les relations suivantes :

1 zz'=[rr',θ+θ']  et  argzz'argz+argz'2π2 1z=1r;-θ  et  arg1z-argz2π3 zz'=rr';θ-θ'  et  argzz'argz-argz'2π4 n zn=[rn,nθ]  et  argznnargz2π

 

 

Remarques

Soit n un entier supérieur ou égal à 2, et z1,z2,...,zn z, , z2 ,.. zn des nombres complexes non nuis. Alors :

argk=1nzk=k=1nargzk 2π

Si z1 et z2 sont deux nombres complexes non nuls tels que z1+z20, alors on n'a pas en général argz1+z2argz1+argz22π.

Contre-exemple :

arg1+argiπ22π et arg1+iπ42π et π2π42π

Soit z et z' deux nombres complexes non nuls, et soit M et M' leurs images respectives dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O;I;J)

À partir de la proposition 22, on peut déduire que le point P(z.z') est le point du plan complexe tel que :

OP=OM×OM' et I;OP^I;OM^+I;OM'^ 2π

 

 

6-3/ Angle de deux vecteurs et argument d'un complexe

Proposition 23

Soit u et v deux vecteurs non nuis d'affixes respectives z et z', et soit A, BC et D des points du plan complexe d'affixes respectives zA, zB , zCet zD tels que AB et CD.

Alors le nombre complexe z'z a pour argument toute mesure de l'angle u;v^. Ainsi :

1- I;u^argz 2π et I;AB^argzB-zA 2π (argument de l'affixe du vecteur AB).

2- u;v^argz'z2π et AB;CD^argzD-zCzB-zA 2π

 

 

Proposition 24

Soit u et v deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z', et soit A, BC et D des points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives zA, zB , zCet zD. On a :

1- Les vecteurs u et v sont colinéaires si, et seulement si, argz'z0π z'z

Et : ABCDargzD-zCzB-zA0 2π

2- Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, argz'zπ2π z'zi

Et : ABCDargzD-zCzB-zAπ2 2π

3- Les points A, BC et D sont alignés ou cocycliques (appartenant au même cercle) si, et seulement si : zC-zAzB-zA÷zC-zDzB-zD

 

 

6-4/ Notation exponentielle d'un nombre complexe non nul

Définition 10

Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe de module 1 et d’argument θ.

Autrement dit : eiθ=cosθ+isinθ

 

 

Remarques

D’après la définition 10, les nombres complexes de la forme eiθ (avec θ) sont les affixes des points du plan complexe situés sur le cercle trigonométrique, et inversement, tout point du cercle trigonométrique a une affixe de la forme eiθ (avec θ).

Par convention, on écrit pour tout θ : ei-θ=eiθ

Lorsque θ=0, alors on a eiθ=1 ; ainsi, cette nouvelle définition est donc compatible avec la valeur que donne en 0 la fonction exponentielle déjà connue sur .

 

 

Proposition 25

Soit θ et θ' deux nombres réels. Alors :

1 eiθ=1 et argeiθθ 2π2 eiθ×eiθ'=eiθ+θ'3 e-iθ=eiθ=1eiθ=cosθ-isinθ4 eiθeiθ'=eiθ-θ'5 eiθ=eiθ'θθ' 2π6 -eiθ=eiθ+π

 

 

Définition 11

Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument θ.

L’écriture z=reiθ est appelée la notation exponentielle ou l’écriture exponentielle du nombre z.

 

 

Proposition 26

Pour tout réel θ et pour tout entier relatif n, on a eiθn=einθ, ou encore, par définition de eiθ :

cosθ+isinθn=cosnθ+isinnθ

« Formule de Moivre »

Pour tout réel θ :

cosθ=eiθ+e-iθ2 et sinθ=eiθ-e-iθ2i

« Formules d'Euler »