Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Semestre 1 Devoir 1 Modèle 1

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 

I- Exercice 1 (9 pts)

 

Partie 1

Considérons la fonction g définie sur  par gx=Arctanx+x1+x2

  1. Calculer limx+gx  et limx-gx
  1. Montrer que g est dérivable en 0 et donner la valeur de g'0.
  1. Montrer que g est une bijection de vers un intervalle J qu'on doit déterminer.
  1. Donner le signe de gx pour tout x.
Partie 2

Considérons la fonction f définie sur  par fx=x2-1Arctanx+x

  1. Calculer limx+fx  et limx-fx
  1. Montrer que x f'x=2xgx
  1. Déduire le signe de f'x pour tout x.
  1. Donner le tableau de variations de f.
  1. Étudier le signe de fx-x pour tout x.
Partie 3

Considérons la suite un définie par u0=a et un+1=fun avec a]0;1[

  1. Montrer que n 0<un<1
  1. Étudier la monotonie de un, puis déduire qu'elle est convergente.
  1. Déterminer la valeur de limn+un

 

II- Exercice 2 (6 pts)

 

Pour tout n*, considérons la fonction fn définie sur 0;1 par fnx=xn-1+Arctanx.

  1. Montrer que n* !xn]0;1[ : fnxn=0
  1. Montrer que x1>12

Considérons la suite xnn1 définie tel que pour tout n* le terme xn désigne l'unique solution de l'équation fnx=0 dans l'intervalle ]0;1[.

  1. Étudier la monotonie de xnn1, puis déduire qu'elle est convergente.
  1. Montrer que la suite xnnn1 est strictement décroissante, puis déduire qu'elle est convergente.
  1. Montrer que n* 1-π4<xnn<1
  1. En admettant que limn+xnn=1-π4, déduire que limn+xn=1.

 

III- Exercice 3 (5 pts)

 

Soit snn1 une suite définie par sn=k=1n-1kuk, avec unn1 est une suite décroissante convergente vers 0.

  1. Montrer que les deux suites extraites vnn1 et wnn1 tels que vn=s2n et wn=s2n+1 sont adjacentes.
  1. Déduire que la suite snn1 est convergente.
  1. Déduire que la suite snn1 définie par sn=k=1n-1kk3 est convergente.