Séance 4-2-1 : Fonctions logarithmiques - Partie 2 (Cours)

Sommaire

III- Fonction logarithme de base a

3-1/ Définition et propriétés

3-2/ Courbe de la fonction ${\log }_a$

3-3/ Logarithme décimal

III- Fonction logarithme de base a

3-1/ Définition et propriétés

Définition 3

Soit a un réel strictement positif et différent de 1.

La fonction logarithme de base a est la fonction numérique, notée par ${\log }_a$, définie sur $]0;+\infty [$ par :

${\log }_a\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(a\right)}$

III- Fonction logarithme de base a

3-1/ Définition et propriétés

Remarques

1- La fonction logarithme de base e est la fonction logarithme népérien car pour tout réel x strictement positif :

${\log }_e\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(e\right)}=\ln \left(x\right)$

2- On a : ${\log }_a\left(a\right)=1$ et ${\log }_a\left(1\right)=0$ et ${\log }_a\left(a^r\right)=r$ pour $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$.

3- Pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ : $\log {\text{'}}_a\left(x\right)=\frac{1}{x.\ln \left(a\right)}$

• Si $a>1$, alors la fonction ${\log }_a$ est strictement croissante sur $]0;+\infty [$.
• Si $0<a<1$, alors la fonction ${\log }_a$ est strictement décroissante $]0;+\infty [$.

III- Fonction logarithme de base a

3-1/ Définition et propriétés

Proposition 10

Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, et pour tout $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ on a :

$$\begin{gathered} {\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x\right)+{\log }_a\left(y\right) \\ {\log }_a\left(x^r\right)=r.{\log }_a\left(x\right) \\ {\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=-{\log }_a\left(x\right) \\ {\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_a\left(x\right)-{\log }_a\left(y\right) \end{gathered}$$

Pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ et pour tous réels strictement positifs $x_1,x_2,...,x_n$, on a :

${\log }_a\left(x_1.x_2....x_n\right)={\log }_a\left(x_1\right)+{\log }_a\left(x_2\right)+....+{\log }_a\left(x_n\right)$

III- Fonction logarithme de base a

3-2/ Courbe de la fonction ${\log }_a$

III- Fonction logarithme de base a

3-3/ Logarithme décimal

Définition 4

La fonction logarithme de base 10 est appelée la fonction logarithme décimal. On la note $\log$.

On a alors pour tout $x\in {\mathrm{ℝ}}_{+}^{*}$ :

$\log \left(x\right)={\log }_{10}\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln \left(10\right)}$