Séance 3-3-2 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 3 (Exercices)

Sommaire

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

8-2/ Exercice 3-2

8-3/ Exercice 3-3

8-4/ Exercice 3-4

IIX- Exercices III

8-1/ Exercice 3-1

On considère la fonction $f$ tel que $f\left(x\right)=2x-{\left(x+1\right)}^{\frac{2}{3}}$.

1. Déterminer $D_f$, le domaine de définition de $f$, et calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Étudier l'asymptote de la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au voisinage de $+\infty$.

Soit $g$ le prolongement de $f$ à droite de $-1$.

3. Étudier la dérivabilité de la fonction $g$ à droite de $-1$.

4. Calculer $f\text{'}\left(x\right)$, et donner le tableau de variations de $f$.

5. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ coupe l'axe des abscisses en à point d'abscisse $\alpha \in ]4;5[$ (On prend $2^{\frac{2}{3}}<2$).

6. Tracer ${\mathcal{C}}_f$.

IIX- Exercices III

8-2/ Exercice 3-2

Partie I

On considère la fonction $f$ définie sur $I=\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ par :

$\left(\forall x\in [0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}[\right) ; f\left(x\right)=Arc\tan \left(\sqrt{\tan x}\right)$ et $f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

1. Montrer que $f$ est continue sur $I$.

2. Étudier la dérivabilité de $f$ à droite de $0$.

3. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $I$, et donner le tableau de variations de $f$.

4. Montrer que ${\mathcal{C}}_f$ a un point de symétrie $\Omega \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4},\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$.

5. Résoudre dans $I$ l'équation $\left(E\right):f\left(x\right)=x$, et étudier le signe de $f\left(x\right)-x$.

6. Tracer ${\mathcal{C}}_f$ dans un un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (Unité : $2cm$).

Partie II

On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0\in I\\ \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) ; u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ soit constante.

On suppose que $u_0\notin \left\{0;\frac{\mathrm{\pi }}{4};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right\}$.

2. Montrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ est convergente et calculer sa limite.

IIX- Exercices III

8-3/ Exercice 3-3

On considère la fonction $f$ définie sur $[-1;+\infty [$ par :

$\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{Arc\tan \sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}} ; x>-1\\ f\left(-1\right)=1\end{array}\right.$

1. Montrer que la fonctio $f$ est continue à droite du point $x_0=-1$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter géométriquement le résultat.

Soit $X\in ]0;+\infty [$, on pose $\phi \left(t\right)=t^3\left(Arc\tan X-X\right)-X^3\left(Arc\tan t-t\right)$.

3. Montrer que $\phi$ est dérivable sur l'intervalle $]0;X[$ et calculer la dérivée $\phi \text{'}\left(t\right)$.

4. Montrer que $\left(\exists c\in ]0,X[\right) \frac{Arc\tan X-X}{X^3}=\frac{-1}{3\left(1+c^2\right)}$.

5. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite du point $x_0=-1$.

6. Montrer en utilisant le théorème des accroissements finis que :

$\left(\forall X\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) \frac{X}{1+X^2}\le Arc\tan X\le X$

7. Montrer que :

$\left(\forall x\in ]1;+\infty [\right) f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}}\left(\frac{\sqrt{x+1}}{x+2}-Arc\tan \sqrt{x+1}\right)$

8. Conclure que la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[1;+\infty [$.

9. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=x$ admet une solution unique $\alpha$, et que $\alpha \in ]0;1[$.

10. Tracer ${\mathcal{C}}_f$. (On prend $\alpha \simeq 0,7$)

On considère la fonction $g$ définie sur ${\mathrm{ℝ}}^{+}$ par :

$g\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2}-Arc\tan x$

11. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ et donner le tableau de variations de $g$.

12. Conclure que $\left(\forall X\in {\mathrm{ℝ}}^{+}\right) \left|g\left(x\right)\right|\le \frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

13. Montrer que $\left(\forall X\in ]0;1[\right) \left|f\text{'}\left(x\right)\right|\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}$.

On considère la suite numérique ${\left(u_n\right)}_n$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.$

14. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 0<u_n<1$.

15. Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left|u_{n+1}-\alpha \right|\le \frac{\mathrm{\pi }}{4}\left|u_n-\alpha \right|$.

16. Montrer que ${\left(u_n\right)}_n$ est convergente et calculer sa limite.

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8-4/ Exercice 3-4

Dans chacun des cas suivants, déterminer une primitive de la fonction $f$ ainsi que les intervalles où elle est définie :