Séance 3-2-2 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 2 (Exercices)

Sommaire

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

5-2/ Exercice 2-2

5-3/ Exercice 2-3

5-4/ Exercice 2-4

V- Exercices II

5-1/ Exercice 2-1

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ vérifie les conditions du théorème de Rolle sur $I$ puis déterminer un nombre réel $c$ de $I$ vérifiant $f\text{'}\left(c\right)=0$ :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=x^3-6x^2+11x-6 ; I=\left[1;3\right] \\ \overline{)2} f\left(x\right)=x-\sqrt[3]{4x} +2017 ; I=\left[0;2\right] \\ \overline{)3} f\left(x\right)=\mathrm{\pi x}-3\sqrt{3}\mathrm{Arctanx}+1 ; I=\left[0;\sqrt{3}\right] \end{gathered}$$

V- Exercices II

5-3/ Exercice 2-2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=\left(x^2-1\right){\left(x-2\right)}^4{\left(x+3\right)}^2{\left(x+4\right)}^7$

1. Montrer que l'équation $f\text{'}\left(x\right)=0$ admet au moins quatre solutions dans $\mathrm{ℝ}$.

V- Exercices II

5-4/ Exercice 2-3

Soit $f$ une fonction continue sur $\left[a,b\right]$ et deux fois dérivable sur $]a,b[$ tel que $f\left(a\right)=f\left(b\right)=0$ et $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ne 0$ pour tout $x\in ]a,b[$.

1. Montrer par l’absurde que $\left(\forall x\in ]a,b[\right) f\left(x\right)\ne 0$.

V- Exercices II

5-5/ Exercice 2-4

Soit $f$ une fonction continue sur $\left[0;1\right]$ et deux fois dérivable sur $]0;1[$ tel que $f\left(0\right)=0$ et $f\left(1\right)=1$

1. Montrer qu'il existe au moins un réel $c\in ]0;1[$ tel que $f\text{'}\left(c\right)=\frac{1}{2\sqrt{c}}$.