Mathématiques : 2Bac SMA-SMB

Séance 3-2-1 : Dérivation et étude des fonctions - Partie 2 (Cours)

 

 

Professeur : Mr CHEDDADI Haitam

 


Sommaire

 

IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

4-1/ Théorèmes de Rolle

4-2/ Théorèmes des accroissements finis

4-3/ Inégalité des accroissements finis

 


IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

 

4-1/ Théorèmes de Rolle

Théorème 1

Soit a et b deux réels, avec a<b, et f:a,b une fonction continue sur a,b, dérivable sur ]a,b[, telle que fa=fb.

Alors il existe au moins un réel c]a,b[ tel que f'c=0.

 


IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

 

4-2/ Théorèmes des accroissements finis

Théorème 2

Soit a et b deux réels, avec a<b, et f:a,b une fonction continue sur a,b, dérivable sur ]a,b[.

Il existe alors au moins un réel c]a,b[ tel que fb-fa=b-af'c

 


IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

 

4-3/ Inégalité des accroissements finis

Théorème 3

Soit a et b deux réels, avec a<b, et f:a,b une fonction continue sur a,b, dérivable sur ]a,b[.

On suppose qu'il existe deux réels m et M tels que pour tout x]a,b[ : mf'xM

Alors : mb-afb-faMb-a


IV- Théorèmes de Rolle et des accroissements finis

 

4-3/ Inégalité des accroissements finis

Corollaire

Soit a et b deux réels, avec a<b, et f:a,b une fonction continue sur a,b, dérivable sur ]a,b[.

On suppose qu'il existe k* tel que pour tout x]a,b[ : f'xk

Alors pour tout x,ya,b2, on a : fx-fykx-y

 


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