Séance 3 - Calcul vectoriel dans le plan

Sommaire

I- Rappel (Vecteurs du plan)

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-1/ Somme de deux vecteurs

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

III- Vecteurs colinéaires

IV- Milieu d’un segment 

4-1/ Milieu d’un segment

4-2/ Milieux d’un triangle

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

I- Rappel (Vecteurs du plan)

-  $A$ et $B$ deux points distincts du plan $\left(P\right)$.

     + La direction de $\overrightarrow{AB}$ est la droite $\left(AB\right)$.

     + Le sens de $\overrightarrow{AB}$ est celui de la demi droite $\left[AB\right)$.

     + La longueur ou norme de $\overrightarrow{AB}$, notée $\left|\left|\overrightarrow{AB}\right|\right|=AB$, est la distance de $A$ à $B$.

- Cas particulier si  $\left(A=B\right)$ : alors Le vecteur $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$ c’est le vecteur nul.

- Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même direction et même sens et même longueur.

- $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-1/ Somme de deux vecteurs

Définition

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan $\left(P\right)$.

La somme des vecteurs $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$ est le vecteur $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AC}$.

On écrit : $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-1/ Somme de deux vecteurs

Propriétés

-  $quelque soit A,B,C\in \left(P\right) : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ est appelé relation de Chasles.
 
Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ est appelé l’opposé du vecteur $\overrightarrow{AB}$  ( qui a la même direction, la même norme (longueur) de $\overrightarrow{AB}$  mais  de sens contraire de $\overrightarrow{AB}$)  et on a  $\overrightarrow{AB}$ = - $\overrightarrow{BA}$.

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-1/ Somme de deux vecteurs

Règle du parallélogramme

Soient $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ deux vecteurs du plan $\left(P\right)$.

$ABDC$ est un parallélogramme si et seulement si le point $D$ vérifie $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$  ou bien  $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Définition

Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre non nul.

Le produit d’un vecteur $\overrightarrow{u}$ par un réel $k$ (ou un scalaire) est le vecteur $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$ qui vérifie :

1- $\overrightarrow{v}$ a la direction parallèle à la direction du vecteur $\overrightarrow{u}$.

2- $\overrightarrow{v}$ a pour sens :

• Celui de $\overrightarrow{u}$ si $k>0$.
• Contraire de $\overrightarrow{u}$ si $k<0$.

3- $\overrightarrow{v}$ de norme (longueur) égale à la norme (longueur) de $\overrightarrow{u}$ multipliée par $\left|k\right|$, ou encore : $\left|\left|\overrightarrow{v}\right|\right|=\left|k\right|\times \left|\left|\overrightarrow{u}\right|\right|$.

II- Opérations dans l’ensemble des vecteurs du plan $\left(P\right)$

2-2/ Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Propriétés

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et pour tous réel $k$ et  $k\text{'}$, on a :

$$\begin{gathered} \left(k+k\text{'}\right)\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}+k\text{'}\overrightarrow{u} \\ k\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v} \\ k.\left(k\text{'}.\overrightarrow{u}\right)=k\text{'}.\left(k.\overrightarrow{u}\right)=\left(k.k\text{'}\right)\overrightarrow{u} \\ 1.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u} \\ k.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0} alors \left(k=0 ou \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\right) \end{gathered}$$

III- Vecteurs colinéaires

Définition

- Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires s’il existe $\alpha \in \mathrm{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{v}$ ou $\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{u}$.

- Trois points $A$ et $B$ et $C$ du plan $\left(P\right)$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$ sont alignés (ou encore il existe $\alpha \in \mathrm{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{AC}$ ou $\overrightarrow{AC}=\alpha \overrightarrow{AB}$).

- Deux droites $\left(AB\right)$ et $\left(CD\right)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont alignés  (ou encore il existe $\alpha \in \mathrm{ℝ}$ tel que $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{CD}$ ou $\overrightarrow{CD}=\alpha \overrightarrow{AB}$  ).

Exemple

IV- Milieu d’un segment 

4-1/ Milieu d’un segment

Définition

$\left[AB\right]$ est un segment du plan $\left(P\right)$.

Le point $I$ est le milieu de $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

Propriétés

- Le point $I$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

- Le point $I$ est le milieu du segment $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$ ou $\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BI}$.

- Le point $I$ est le milieu dusegment  $\left[AB\right]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

- Soit le point $I$ est le milieu du segment  $\left[AB\right]$  et soit M un point du plan on a:  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

soit ABCD un parallélogramme 

1. Construire les points M et N tels que : $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}$
2. Montrer que $\overrightarrow{CM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{NM}=\frac{9}{2}\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
3. En déduire que M,N et C sont alignés

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

soit ABC un triangle et I le milieu de segment $\left[AB\right]$ et J le milieu de segment $\left[AC\right]$.

1. Montrer que $\overrightarrow{BJ}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{CI}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Soit $M$ et $N$ deux points du plan tels que  $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BJ} et \overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{CI}$.

2. Quelle la nature de $ACBN$ et $ABCM$ ?

3. Montrer que $A$, $M$ et $N$ sont alignés.

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

soit A, B, C et M quatre points du plan et $\overrightarrow{u}=\stackrel{\rightharpoonup }{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$   

1. Montrer que $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
2. soit   $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{BA}-6\overrightarrow{BC}$. Montrer que $\overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}$ sont colinéaires.

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

soit ABCD un parallélogramme et M et N deux points du plan tels que $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{AD}$

1. Construire une figure convenable.
2. Montrer que $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DC}$
3. En déduire que M,N et C sont alignés.
4. soit E le milieu du $\left[DN\right]$ et F le point du plan tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BF}$.  Montrer que C est le milieu du $\left[EF\right]$
5. Montrer que $\left(BD\right)\parallel \left(EF\right)$.