Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 9 (Trigonométrie 1 - Règles du calcul trigonométrique)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Introduction

1-1/ Orientation d’un plan

1-2/ Cercle trigonométrique

1-3/ Abscisses curvilignes

II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

2-1/ Radian – grade

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

III- Lignes trigonométriques du réel x

IV- Signe de sinx et cosx et tanx

4-1/ Quadrant d’un cercle

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

4-3/ Angles remarquables

V- Relations entre les angles

5-1/ Angles opposés

5-2/ Angles supplémentaires

5-3/ Angles opposés supplémentaires

5-4/ Angles complémentaires

5-5/ Angles opposés complémentaires

5-6/ Résumé des formules précédentes

VI- Exercices

6-1/ Exercice 1

6-2/ Exercice 2

6-3/ Exercice 3

6-4/ Exercice 4

 


I- Introduction

 

1-1/ Orientation d’un plan

On dit que le cercle est muni d’un origine I.

On dit que le cercle est orienté positif ou direct qui est le sens contraire de la rotation des aiguilles du montre.

Si tous les cercles du plan sont orientés d’une orientation positive, on dit que le plan est orienté positif (ou direct).

 


I- Introduction

 

1-2/ Cercle trigonométrique

Tout cercle C du plan (P) :

  • que son rayon est r=1.
  • qui est muni d’un origine I.
  • qui est orienté positif.

Ce cercle C est appelé cercle trigonométrique.

Si le plan est rapporté a un repère orthonormé (O,OI,OJ) et O est le centre du cercle C et le point J est placé dans le sens positif, on dit que le cercle trigonométrique C est lié au repère orthonormé (O,OI,OJ)=(O,i,j) (avec OI=i et OJ=j).

Pour tout le cours : le cercle C est le cercle trigonométrique d’origine I et son centre est le point O.

 


I- Introduction

 

1-3/ Abscisses curvilignes

Mα+2kπ est un point de C, il existe un et un seul abscisse curviligne de M qui appartienne à ]-π,π] ( c.à.d. -π<απ). Cet abscisse est appelé abscisse curviligne principal de M.

Si M est situé sur le demi cercle «supérieure», la mesure principale appartienne à 0,π, sinon la mesure principale appartienne à ]-π,0].

Les abscisses curvilignes de I sont 0+2kπ=2, donc l’abscisse curviligne principale de I est .

Les abscisses curvilignes de J sont π2+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de J est π2.

Les abscisses curvilignes de I sont π+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de I est π.

Les abscisses curvilignes de J' sont -π2+2kπ, donc l’abscisse curviligne principale de J' est -π2.

 


II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-1/ Radian – grade

Définition

A et B deux points du cercle trigonométrique (C) d’origine I et son centre est le point O.

La longueur de l’arc géométrique AB est 1.

l’angle de sommet O et qui intercepte l’arc AB, on dit que sa mesure est 1radian on note 1rad .

On a : 180°=πrad et 90°=π2rad ....

Remarque

Il existe une autre unité de mesure des angles, on l’appelle grade

On la note par gr tel que 180°=πrad=200gr et 90°=π2rad=100gr

Si la mesure d'un angle est x et y et z respectivement en degré et radian et grade, alors x180=yπ=z200.

Exemple

 


II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

Définition 1

Soit [OA) et [OB) deux demi droites du plan P tel que AO et BO.

Le couple [OA),[OB) est appelé l’angle orienté du demi-droites, on le note OA,OB.

Le couple [OB),[OA) détermine un autre angle orienté, on le note OB,OA qui est différent de l’angle OA,OB.

Définition 2

On considère dans le plan P deux points A et B puis le cercle trigonométrique (C) de centre O tel que AO et BO.

Les deux demi-droites [OA) et [OB) coupent  respectivement en A'α et B'β tel que leurs abscisses curvilignes sont α et β. On a :

- Les mesures de l’angle orienté OA,OB sont les nombres réels β-α+2kπ k,

On note OA,OB¯β-α 2π  ou encore OA,OB¯=β-α+2kπ k.

On lit : mesures de l’angle orienté OA,OB congrue à β-α modulo 2π.

- La mesure qui vérifie β-α+2]-π,π] s’appelle la mesure principale de l’angle orienté OA,OB.

Exemple

 


II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-2/ Mesure d’un angle orienté de deux demi-droites

Propriété

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient [OA) et [OB) et [OC) trois demi-droites de P.

On a :

OA,OA¯0 2π 

OA,OB¯-OB,OA¯ 2π 

OA,OB¯+OB,OC¯ OA,OC¯ 2π  : Relation de chasles

Exemple

 


II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

Définition

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient u et v deux vecteurs non nuls de P.

Soient A et B deux points de P tel que u=OA et v=OB.

L’angle orienté des vecteurs u et v est l’angle orienté OA,OB (c.à.d. des deux demi-droites [OA) et [OB), on le note u,v.

Les mesures de l’angle orienté OA,OB sont appelées les mesures de l’angle orienté u,v, on note u,v¯.

On a : u,v¯OA,OB¯  2π

La mesure de l’angle orienté u,v qui appartienne à ]-π,π] est appelée la mesure principale de u,v.

Exemple

 


II- Angle orienté de deux demi-droites – de deux vecteurs non nuls

 

2-3/ Angle déterminé par deux vecteurs non nuls

Propriété

Le plan P est orienté positif, O est un point de P.

Soient u et v et w trois vecteurs non nuls de P.

On a :

u,u¯0 2π

u,v¯-v,u¯ 2π

u,v¯+v,w¯u,w¯ 2π

Exemple

 


III- Lignes trigonométriques du réel x

 

Définition

x est une abscisse curviligne du point MxC tel que C est le cercle trigonométrique d’origine I lié au repère orthonormé.

Mc,s par rapport au repère orthonormé direct.

Le réel c (abscisse de M) est appelé le sinus du réel x, on le note cosx, d’où cosx=cosi,OM¯=c.

Le réel s (ordonnée de M) est appelé le cosinus du réel x, on le note sinx, d’où sinx=sini,OM¯=s.

Le réel t (abscisse du point T) est appelé la tangente du réel x, on le note tanx, d’où tanx=tani,OM¯=t (sachant la droite T est tangente au cercle C en I et T[OM)=T).

 

 


III- Lignes trigonométriques du réel x

 

Conséquences

x : sinx2+cosx2=1x : -1sinx1 et -1cosx1x : cosx+2kπ=cosxx : sinx+2kπ=sinxx-π2+kπ;k : tanx=sinxcosx et 1+tan2x=1cos2x

 


IV- Signe de sinx et cosx et tanx

 

4-1/ Quadrant d’un cercle

On divise le cercle en quatre arcs de même longueur suivant le sens positif.

x est une abscisse curviligne du point MxC.

Le 1er arc IJ : si MxIJ on dit que Mx est situé dans le premier quadrant.

Le 2ème arc JI' : si MxJI' on dit que Mx est situé dans le deuxième quadrant.

Le 3ème arc I'J' : si MxI'J' on dit que Mx est situé dans le troisième quadrant.

Le 4ème arc J'I : si MxJ'I on dit que Mx est situé dans le quatrième quadrant

 


IV- Signe de sinx et cosx et tanx

 

4-2/ Signes des lignes trigonométriques

 


IV- Signe de sinx et cosx et tanx

 

4-3/ Angles remarquables

 


V- Relations entre les angles

 

5-1/ Angles opposés

sin-x=-sinxcos-x=cosxtan-x=-tanx

 


V- Relations entre les angles

 

5-2/ Angles supplémentaires

sinπ-x=sinxcosπ-x=-cosxtanπ-x=-tanx

 


V- Relations entre les angles

 

5-3/ Angles opposés supplémentaires

sinπ+x=-sinxcosπ+x=-cosxtanπ+x=-tanx

 


V- Relations entre les angles

 

5-4/ Angles complémentaires

sinπ2-x=cosxcosπ2-x=sinxtanπ2-x=1tanx

 


V- Relations entre les angles

 

5-5/ Angles opposés complémentaires

sinπ2+x=cosxcosπ2+x=-sinxtanπ2+x=-1tanx

 


V- Relations entre les angles

 

5-6/ Résumé des formules précédentes

 


VI- Exercices

 

6-1/ Exercice 1

 

 


VI- Exercices

 

6-2/ Exercice 2

 

 


VI- Exercices

 

6-3/ Exercice 3

 

 


VI- Exercices

 

6-4/ Exercice 4

 

 


Affichage en Diaporama