Séance 1 - Les ensembles de nombres IN, Z, Q, ID et IR

Sommaire

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-1/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{N}}$ (nombres entiers naturels)

1-2/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}$ (nombres entiers relatifs)

1-3/ L'ensemble $\mathbb{D}$ (nombres décimaux)

1-4/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Q}}$ (nombres rationnels)

1-5/ L'ensemble $\mathrm{ℝ}$ (nombres réels)

II- Règles de calculs

2-1/ Les fractions

2-2/ Les racines carrées

2-3/ Les identités remarquables

2-4/ Les puissances de 10

2-5/ L'écriture scientifique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-1/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{N}}$ (nombres entiers naturels)

Les nombres entiers naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels. On le note $\mathrm{\mathbb{N}}$.

On écrit : $\mathrm{\mathbb{N}}=\left\{0,1,2,3,.....\right\}$, on dit que $\mathrm{\mathbb{N}}$ est écrit en extension .

L’ensemble $\left\{1,2,3,.....\right\}$ est noté $\mathrm{\mathbb{N}}*$, on a $\mathrm{\mathbb{N}}*\subset \mathrm{\mathbb{N}}$.

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-2/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}$ (nombres entiers relatifs)

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers relatifs, on le note $\mathrm{\mathbb{Z}}$.

On écrit : $\mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{.....-3,-2,-1,0,1,2,3,.....\right\}$, on dit que $\mathrm{\mathbb{Z}}$ est écrit en extension.

L’ensemble $\mathrm{\mathbb{Z}}=\left\{.....-3,-2,-1,1,2,3,.....\right\}$ est noté $\mathrm{\mathbb{Z}}*$, on a $\mathrm{\mathbb{Z}}*\subset \mathrm{\mathbb{Z}}$.

L’ensemble $\left\{0,1,2,3,.....\right\}$ est l’ensemble des entiers positifs, on note ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}=\mathrm{\mathbb{N}}$, on a ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}$ (ou encore $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}$).

L’ensemble $\left\{1,2,3,.....\right\}$ est l’ensemble des entiers strictement positifs, on le note ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{+}*=\mathrm{\mathbb{N}}*$.

L’ensemble $\left\{0,-1,-2,-3,.....\right\}$ est l’ensemble des entiers négatifs , on le note ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{-}$.

L’ensemble $\left\{-1,-2,-3,.....\right\}$ est l’ensemble des entiers strictement négatifs , on le note ${\mathrm{\mathbb{Z}}}^{-}*$.

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-3/ L'ensemble $\mathbb{D}$ (nombres décimaux)

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire par un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple $-15,237$ et $0,21$ et $\frac{3}{4}=0,75$ sont des nombres décimaux ; mais $0,666666...$ n’est pas un nombre décimal.

Pour comprendre la définition mathématique exacte de l’ensemble des nombres décimaux, on remarque que :  $-15,237=-\frac{15237}{1000}=-\frac{15237}{{10}^3}$ et $0,21=\frac{21}{100}=\frac{21}{{10}^2}$.

D’où : Les nombres décimaux forment un ensemble appelé ensemble des nombres décimaux.

On le note $\mathbb{D}$. Avec : $\mathbb{D}=\left\{\frac{a}{{10}^p}/a\in \mathrm{\mathbb{Z}},p\in \mathrm{\mathbb{N}}\right\}$

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-4/ L'ensemble $\mathrm{\mathbb{Q}}$ (nombres rationnels)

On a : $\frac{2}{3}=0,6666666...\notin \mathbb{D}$

$\frac{2}{3}$ est un nombre rationnel (du latin ratio= fraction).
 
Chaque nombre rationnel peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ sont des entiers (avec $b\ne 0$ on préfère $b>0$).

On note l’ensemble des nombres rationnels par $\mathrm{\mathbb{Q}}$.

I- Les ensembles $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathbb{D}$,  $\mathrm{\mathbb{Q}}$ et $\mathrm{ℝ}$

1-5/ L'ensemble $\mathrm{ℝ}$ (nombres réels)

$\sqrt{2}=1,4121356...$ et $\mathrm{\pi }=3,141592653589...$ sont des nombres irrationnels .

Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble des nombres réels, on note cet ensemble par : $\mathrm{ℝ}$.

On a : $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathbb{D}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}\subset \mathrm{ℝ}$
 
$\mathrm{ℝ}*$ est l’ensemble des nombres réels non nuls.

${\mathrm{ℝ}}^{+}$ est l’ensemble des nombres réels positifs.

${\mathrm{ℝ}}^{+}*$ est l’ensemble des nombres réels positifs non nuls.

${\mathrm{ℝ}}^{-}$ est l’ensemble des nombres réels négatifs.

${\mathrm{ℝ}}^{+}\cup {\mathrm{ℝ}}^{-}=\mathrm{ℝ}$ et ${\mathrm{ℝ}}^{+}\cap {\mathrm{ℝ}}^{-}=\left\{0\right\}$

II- Règles de calculs

2-1/ Les fractions

Soient $a$ et $b$ et $c$ et $d$ des nombres réels avec $b\ne 0$ et $d\ne 0$.

On a :

$$\begin{gathered} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd} \\ \frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} \\ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} \end{gathered}$$

II- Règles de calculs

2-2/ Les racines carrées

La racine carrée d’un nombre positif $x$ est le nombre positif $a$ tal que $a^2=x$.

Le nombre $a$ est noté $a=\sqrt{x}$.

II- Règles de calculs

2-3/ Les identités remarquables

$a$ et $b$ sont des nombres réels.

On a :

$$\begin{gathered} {\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2 \\ {\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2 \\ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2 \\ {\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \\ {\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3 \\ {a}^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) \\ {a}^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right) \end{gathered}$$

II- Règles de calculs

2-4/ Les puissances de 10

II- Règles de calculs

2-5/ L'écriture scientifique

Écrire un nombre en écriture scientifique c’est de l’écrire sous la forme :

Exemples

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

1. Montrer que :

$$\begin{gathered} A=\frac{{\left(9^{n+1}+9^n\right)}^2}{{\left(3^{2n+1}-3^{2n}\right)}^2}\in \mathrm{\mathbb{N}} \\ B=\sqrt{2\sqrt{\frac{5\sqrt{2}-7}{5\sqrt{2}+7}}+5\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}}}\in \mathrm{\mathbb{N}} \end{gathered}$$

Soit $x$ un nombre réel strictement positif $\left(x>3\right)$, tel que $x^2-3x-4=0$

2. Montrer que $2\left(\sqrt{\frac{x-3}{x}}-\sqrt{\frac{x}{x-3}}\right)\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

III- Exercices

3-2/ Exercice 2

1. Développer puis réduire les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A={\left(2x-1\right)}^2+{\left(x+2\right)}^3 \\ B=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right) \\ C=\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right) \\ D={\left(2x-1\right)}^3-{\left(x+4\right)}^2 \end{gathered}$$

2. Factoriser les expressions :

$$\begin{gathered} E=x^2-4+\left(x+3\right)\left(x-2\right)-3{\left(x-2\right)}^2 \\ F=x^3-27+2\left(x^2-9\right)-3x+9 \\ G=4x^2-36x \\ H=x^3-1+3\left(x^2-1\right)-x+1 \end{gathered}$$

III- Exercices

3-3/ Exercice 3

1. Simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=\frac{{\left(x^{2}y\right)}^{-3}\times z^2}{x{y}^2\times z^{-3}} \\ B=\frac{{\left(x^{2}y\right)}^{-3}\times x^3{z}^{-2}}{x{\left(zy\right)}^2\times y^{-1}} \end{gathered}$$

On considère le nombre suivant : $E=\frac{6^{12}\times {25}^{-2}}{{15}^8\times {18}^2}$

2. Déterminer les nombres entiers relatifs $m$ et $n$ tels que $E=2^n\times 5^m$

III- Exercices

3-4/ Exercice 4

On considère les nombres suivants : $a=\sqrt{8+2\sqrt{15}}$ et $b=\sqrt{8-2\sqrt{15}}$

1. Calculer $a\times b$

On pose $u=a+b$ et $v=a-b$

2. Calculer $u^2$ et $v^2$ puis déduire $u$ et $v$

3. Déduire une écriture simplifiée de $a$ et $b$

On pose $X=\sqrt{17+12\sqrt{2}}$ et $Y=\sqrt{17-12\sqrt{2}}$

4. Montrer que $XY=1$

5. Calculer ${\left(X+Y\right)}^2$ et ${\left(X-Y\right)}^2$

III- Exercices

3-5/ Exercice 5

1. Factoriser :

$$\begin{gathered} A={\left(x+2\right)}^2+x^2-4 \\ B={\left(2x-1\right)}^2-{\left(3x+2\right)}^2 \\ C=27x^3-8 \\ D=x^3+125-5x\left(x+5\right) \end{gathered}$$

On pose : $a+b=1$ et $a^2+b^2=2$

2. Calculer $a^6+b^6$ et $a^4+b^4$.

Soit $c\in \mathrm{ℝ}*$. On pose : $x=c+\frac{1}{c}$

3. Calculer $c^2+\frac{1}{c^2}$ et $c^3+\frac{1}{c^3}$ en fonction de $x$.

III- Exercices

3-6/ Exercice 6

Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tel que $x\ne y$ et $2\left(x^2+y^2\right)=5xy$.

1. Calculer $\frac{x+y}{x-y}$.

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres de $\mathrm{ℝ}*$ tel que $ab+bc+ca=0$.

2. Calculer $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}$.