Mathématiques : Troc Commun Sciences

Séance 1 (Les ensembles de nombres IN, Z, Q, ID et IR)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 


Sommaire

 

I- Les ensembles , D et

1-1/ L'ensemble  (nombres entiers naturels)

1-2/ L'ensemble  (nombres entiers relatifs)

1-3/ L'ensemble D (nombres décimaux)

1-4/ L'ensemble  (nombres rationnels)

1-5/ L'ensemble  (nombres réels)

II- Règles de calculs

2-1/ Les fractions

2-2/ Les racines carrées

2-3/ Les identités remarquables

2-4/ Les puissances de 10

2-5/ L'écriture scientifique

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

 


I- Les ensembles , D et

 

1-1/ L'ensemble  (nombres entiers naturels)

Les nombres entiers naturels forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers naturels. On le note .

On écrit : =0,1,2,3,....., on dit que  est écrit en extension .

L’ensemble 1,2,3,..... est noté *, on a *.

 


I- Les ensembles , D et

 

1-2/ L'ensemble  (nombres entiers relatifs)

Les nombres entiers relatifs forment un ensemble appelé ensemble des nombres entiers relatifs, on le note .

On écrit : =.....-3,-2,-1,0,1,2,3,....., on dit que  est écrit en extension.

L’ensemble =.....-3,-2,-1,1,2,3,..... est noté *, on a *.

L’ensemble 0,1,2,3,..... est l’ensemble des entiers positifs, on note +=, on a + (ou encore ).

L’ensemble 1,2,3,..... est l’ensemble des entiers strictement positifs, on le note +*=*.

L’ensemble 0,-1,-2,-3,..... est l’ensemble des entiers négatifs , on le note -.

L’ensemble -1,-2,-3,..... est l’ensemble des entiers strictement négatifs , on le note -*.

 


I- Les ensembles , D et

 

1-3/ L'ensemble D (nombres décimaux)

Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire par un nombre fini de chiffres après la virgule, par exemple -15,237 et 0,21 et 34=0,75 sont des nombres décimaux ; mais 0,666666... n’est pas un nombre décimal.

Pour comprendre la définition mathématique exacte de l’ensemble des nombres décimaux, on remarque que :  -15,237=-152371000=-15237103 et 0,21=21100=21102.

D’où : Les nombres décimaux forment un ensemble appelé ensemble des nombres décimaux.

On le note D. Avec : D=a10p/a,p

 


I- Les ensembles , D et

 

1-4/ L'ensemble  (nombres rationnels)

On a : 23=0,6666666...D

23 est un nombre rationnel (du latin ratio= fraction).
 
Chaque nombre rationnel peut s’écrire sous la forme ab avec a et b sont des entiers (avec b0 on préfère b>0).

On note l’ensemble des nombres rationnels par .

 


I- Les ensembles , D et

 

1-5/ L'ensemble  (nombres réels)

2=1,4121356... et π=3,141592653589... sont des nombres irrationnels .

Les nombres rationnels et les nombres irrationnels forment un ensemble appelé ensemble des nombres réels, on note cet ensemble par : .

On a : D
 
* est l’ensemble des nombres réels non nuls.

+ est l’ensemble des nombres réels positifs.

+* est l’ensemble des nombres réels positifs non nuls.

- est l’ensemble des nombres réels négatifs.

+-= et +-=0

 


II- Règles de calculs

 

2-1/ Les fractions

Soient a et b et c et d des nombres réels avec b0 et d0.

On a :

ab+cd=ad+bcbdab-cd=ad-bcbdab×cd=acbdabcd=ab×dc=adbc

 


II- Règles de calculs

 

2-2/ Les racines carrées

La racine carrée d’un nombre positif x est le nombre positif a tal que a2=x.

Le nombre a est noté a=x.

 


II- Règles de calculs

 

2-3/ Les identités remarquables

a et b sont des nombres réels.

On a :

a+b2=a2+2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2a+ba-b=a2-b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3a3-b3=a-ba2+ab+b2a3+b3=a+ba2-ab+b2

 


II- Règles de calculs

 

2-4/ Les puissances de 10

 


II- Règles de calculs

 

2-5/ L'écriture scientifique

Écrire un nombre en écriture scientifique c’est de l’écrire sous la forme :

Exemples

 


III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

  1. Montrer que :

A=9n+1+9n232n+1-32n2B=252-752+7+53-223+22

Soit x un nombre réel strictement positif x>3, tel que x2-3x-4=0

  1. Montrer que 2x-3x-xx-3

 


III- Exercices

 

3-2/ Exercice 2

  1. Développer puis réduire les expressions suivantes :

A=2x-12+x+23B=x+2x2-2x+4C=x-3x2+3x+9D=2x-13-x+42

  1. Factoriser les expressions :

E=x2-4+x+3x-2-3x-22F=x3-27+2x2-9-3x+9G=4x2-36xH=x3+1+3x2-1-x+1

 


III- Exercices

 

3-3/ Exercice 3

  1. Simplifier les expressions suivantes :

A=x2y-3×z2xy2×z-3B=x2y-3×x3z-2xzy2×y-1

On considère le nombre suivant : E=612×25-2158×182

  1. Déterminer les nombres entiers relatifs m et n tels que E=2n×5m

 


III- Exercices

 

3-4/ Exercice 4

On considère les nombres suivants : a=8+215 et b=8-215

  1. Calculer a×b

On pose u=a+b et v=a-b

  1. Calculer u2 et v2 puis déduire u et v
  1. Déduire une écriture simplifiée de a et b

On pose X=17+122 et Y=17-122

  1. Montrer que XY=1
  1. Calculer X+Y2 et X-Y2

 


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