Séance 10 - Fonctions exponentielles

Sommaire

I- La fonction exponentielle népérienne $f\left(x\right)=e^x$

1-1/ Définition

1-2/ Conséquences

1-3/ Propriétés

II- Propriétés algébriques

III- Limites

IV- Dérivée des fonctions $f\left(x\right)=e^x$ et $f\left(x\right)=e^{u\left(x\right)}$

4-1/ Théorème 1

4-2/ Théorème 2

V- Étude de la fonction $f\left(x\right)=e^x$

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-1/ Définition

6-2/ Remarques

6-3/ Conséquences

6-4/ Propriétés

6-5/ La courbe représentative de $f\left(x\right)=a^x$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

I- La fonction exponentielle népérienne $f\left(x\right)=e^x$

1-1/ Définition

La fonction $f$ définie par $\left\{\begin{array}{l}f:]0,+\infty [\to \mathrm{ℝ}\\ x\to f\left(x\right)=\ln x\end{array}\right.$ est continue et strictement croissante sur l’intervalle $]0,+\infty [$ d’où $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$.

On l’appelle fonction exponentielle népérienne et on la note par $f^{-1}=exp$ ou $f^{-1}=e$  avec :

$\left\{\begin{array}{l}{f}^{-1}:\mathrm{ℝ}\to ]0,+\infty [\\ x\to f^{-1}\left(x\right)=exp\left(x\right)\end{array}\right.$

I- La fonction exponentielle népérienne $f\left(x\right)=e^x$

1-2/ Conséquences

La fonction exponentielle népérienne $f^{-1}=exp$ ou $f^{-1}=e$ est continue et strictement croissante sur $\mathrm{ℝ}$, et la courbe de $f$ et $f^{-1}$ sont symétrique par rapport à la 1ère bissectrice (la droite d’équation $y=x$).

$\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) : e^x>0$

La relation entre $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)$ et $f^{-1}=e^x$ est $\left(\begin{array}{c}{e}^x=y\\ x\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=\ln y\\ y>0\end{array}\right)$.

I- La fonction exponentielle népérienne $f\left(x\right)=e^x$

1-3/ Propriétés

$\left(\begin{array}{c}{e}^x=y\\ x\in \mathrm{ℝ}\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=\ln y\\ y>0\end{array}\right)$.

$\forall x>0 : e^{\ln x}=x$

$\forall x\in \mathrm{ℝ} : \ln \left(e^x\right)=x$

$\forall x\in \mathrm{ℝ} : e^x>0$

$\forall a,b\in \mathrm{ℝ} : a=b\iff e^a=e^b$

$\forall a,b\in \mathrm{ℝ} : a>b\iff e^a>e^b$

II- Propriétés algébriques

Soient $a,b,x\in \mathrm{ℝ}$ et $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$.

On a :

$$\begin{gathered} e^{a+b}=e^a\times e^b \\ {e}^{-b}=\frac{1}{e^b} \\ {e}^{a-b}=\frac{e^a}{e^b} \\ {\left(e^x\right)}^r=e^{rx} \\ \sqrt{e^x}=e^{\frac{1}{2}x} \\ \sqrt[n]{e^x}=e^{\frac{1}{n}x} \end{gathered}$$

III- Limites

$$\begin{gathered} \underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0^{+} \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x=0^{-} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0 ; n\in \mathrm{\mathbb{N}}* \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x}=+\infty \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty ; n\in \mathrm{\mathbb{N}}* \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1 \end{gathered}$$

IV- Dérivée des fonctions $f\left(x\right)=e^x$ et $f\left(x\right)=e^{u\left(x\right)}$

4-1/ Théorème 1

La fonction $f\left(x\right)=e^x$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$, et on a : $\forall x\in \mathrm{ℝ} : \left(e^x\right)\text{'}=e^x$.

Preuve

IV- Dérivée des fonctions $f\left(x\right)=e^x$ et $f\left(x\right)=e^{u\left(x\right)}$

4-2/ Théorème 2

Si la fonction $u\left(x\right)$ est dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f\left(x\right)=e^{u\left(x\right)}$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est : $f\text{'}\left(x\right)={\left[e^{u\left(x\right)}\right]}^{\text{'}}=u\text{'}\left(x\right)e^{u\left(x\right)}$.

Exemples

V- Étude de la fonction $f\left(x\right)=e^x$

Le tableau de variation de $f$ :

La courbe représentative de $f$ :

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-1/ Définition

Soit $a\in ]0;1[\cup ]1;+\infty [$.

La fonction définie par :$\forall x>0 ; {\log }_a\left(x\right)=\frac{\ln \left(x\right)}{\ln a}$  est continue et strictement monotone sur $]0;+\infty [$.

Donc elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$, on l’appelle fonction exponentielle de base a et elle est définie par :

$$\begin{gathered} f^{-1} : \mathrm{ℝ}\to ]0;+\infty [ \\ x\to f^{-1}\left(x\right)=ex{p}_a\left(x\right) \end{gathered}$$

Exemple

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-2/ Remarques

$$\begin{gathered} \forall x\in \mathrm{ℝ} ; e^{x\ln a}=a^x \\ \forall x\in \mathrm{ℝ} ; {\log }_a\left(a^x\right)=x \\ \forall x>0 ; a^{{\log }_a\left(x\right)}=x \\ \forall x\in \mathrm{ℝ} ; {10}^x=y\iff x=\log \left(y\right) \end{gathered}$$

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-3/ Conséquences

Soit $a\in ]0;1[\cup ]1;+\infty [$ et la fonction $f\left(x\right)=a^x=e^{x\ln a}$

La fonction $f$ est continue et dérivable sur l’intervalle $\mathrm{ℝ}$.

$f\text{'}\left(x\right)=\left(a^x\right)\text{'}=\ln a\times e^{x\ln a}=\ln a\times a^x$

D’où le signe de $f\text{'}\left(x\right)$ est le signe de $\ln a$.

Si $0<a<1$, alors $f\left(x\right)=a^x=e^{x\ln a}$ est strictement croissante, d’où : $\forall x,y\in \mathrm{ℝ} : a^x<a^y\iff x>y$

Si $a>1$,  alors $f\left(x\right)=a^x=e^{x\ln a}$ est strictement décroissante, d’où : $\forall x,y\in \mathrm{ℝ} : a^x<a^y\iff x<y$

Exemple

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-4/ Propriétés

Soit $a\in ]0;1[\cup ]1;+\infty [$ et $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$ et $x,y\in \mathrm{ℝ}$

On a :

$$\begin{gathered} a^x\times a^y=a^{x+y} \\ {\left(a^x\right)}^y=a^{xy} \\ \frac{1}{a^x}=a^{-x} \\ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \end{gathered}$$

Exemples

VI- Fonction exponentielle de base $a$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

6-5/ La courbe représentative de $f\left(x\right)=a^x$ avec $a\in ]0,1[\cup ]1,+\infty [$

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

1. Simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A={\left(e^x+e^{-x}\right)}^2-{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2 \\ B={\left(e^x-1\right)}^2\left(e^{2x}+2e^x+1\right) \end{gathered}$$

2. Montre que pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$ on a :

$$\begin{gathered} \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}=\frac{1-e^{-x}}{e^x+1} \\ \frac{1}{e^x+1}=\frac{e^{-x}}{e^{-x}+1} \end{gathered}$$

3. Résoudre dans $\mathrm{ℝ}$ les équations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} e^{2x}+e^x-2=0 \\ \overline{)2} e^{2x+1}+e^{x+1}-2e=0 \\ \overline{)3} e^x-2e^{-x}+1=0 \end{gathered}$$

4. Résolvez dans $\mathrm{ℝ}$ les inéquations suivantes :

$$\begin{gathered} \overline{)1} e^{2x}+e^x-2<0 \\ \overline{)2} e^{2x}+2e^x-3\ge 0 \\ \overline{)3} \frac{e^x-1}{e^x-2}\ge 0 \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-2/ Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)={\left(e^{-x}-1\right)}^2$

On désigne par $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité: $2cm$)

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et interpréter graphiquement le résultat.

2. Montrer que l’axe des ordonnées est une direction parabolique de $\left(C_f\right)$ au voisinage de $-\infty$.

3. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; f\text{'}\left(x\right)=2e^{-x}\left(1-e^{-x}\right)$

4. Dresser le tableau de variation de $f$.

5. Montrer que $\left(C_f\right)$ admet un point d’inflexion .

Soit $g$ la restriction de la fonction $f$ sur $[0,+\infty [$

6. Montrer que $g$ admet une fonction réciproque $g^{-1}$ définie sur un intervalle J à déterminer.

7. Montrer que : $\left(\forall x\ge 0\right) ; g^{-1}\left(x\right)=-\ln \left(1-\sqrt{x}\right)$

8. Tracer $\left(C_f\right)$ et $\left(C_{g^{-1}}\right)$ dans le même repère.

VII- Exercices

7-3/ Exercice 3

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=e^x-2x+2$

1. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

2. Étudier le signe de $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ et en déduire les variations de la fonction $g$ (le calcul des limites n'est pas demandé).

3. En déduire que $g\left(x\right)>0$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie par : $f\left(x\right)=x{e}^{-x}+\frac{x}{2}+1$

4. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ et interpréter le résultat graphiquement.

5. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]$ et interpréter le résultat graphiquement.

6. Étudier les positions relatives de la courbe $\left(C_f\right)$ et la droite $\left(\Delta \right)$ d'équation $y=\frac{1}{2}x+1$.

7. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=\frac{g\left(x\right)}{2e^x}$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$ .

8. Dresser le tableau de variations de $f$.

9. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $]-1;0[$.

10. Déterminer l'équation de la tangente $\left(T\right)$ à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $0$.

11. Calculer $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, puis déterminer le point d'inflexion de la courbe $\left(C_f\right)$.

12. Tracer $\left(C_f\right)$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. (On prend $e\approx 2,7$ et $\frac{2}{e^2}\approx 0,27$).

VII- Exercices

7-4/ Exercice 4

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=e^x-x-1$

1. Calculer $g\text{'}\left(x\right)$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}$, puis étudier les variations de la fonction $g$.

2. En déduire que $g\left(x\right)>0$ pour tout $x\in \mathrm{ℝ}*$.

3. Montrer que $\left(\forall x>0\right) ; \frac{e^x-1}{x}>1$ et que $\left(\forall x<0\right) ; \frac{e^x-1}{x}<1$.

4. Montrer que $g\left(-x\right)=e^{-x}\left[1+\left(x-1\right)e^x\right]$.

5. Déduire que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) ; 1+\left(x-1\right)e^x\ge 0$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}*$ par : $f\left(x\right)=x-1-\frac{x}{e^x-x-1}$

6. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

7. Calculer $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$.

8. Calculer $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}*\right): f\text{'}\left(x\right)$, puis dresser le tableau de variations de $f$.

9. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

10. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

11. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique  $\alpha$ dans $]-2;-1[$ et une solution unique $\beta$ dans l'intervalle $]1;2[$.

12. Déduire que $e^{\alpha }-\alpha -1=\frac{\alpha }{\alpha -1}$.

13. Tracer $\left(C_f\right)$ dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (On prends $\alpha =-1,3$ et $\beta =1,6$)

Partie 3

Soit ${\left(u_n\right)}_{n\in \mathrm{\mathbb{N}}}$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=1\\ u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{array}\right. ; \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

14)Montrer par récurrence que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) : 0\le u_n\le 1$.

15)Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

16)Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

VII- Exercices

7-5/ Exercice 5

Partie I

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=1-\left(x+1\right)e^{-x}$

1. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) g\text{'}\left(x\right)=x{e}^{-x}$

2. Montrer que $g$ est croissante sur $[0;+\infty [$ et décroissante sur $]-\infty ;0]$.

3. Calculer $g\left(0\right)$ et en déduire que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) g\left(x\right)\ge 0$.

Partie II

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x-1+\left(x+2\right)e^{-x}$

Soit $\left(C\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (unité : 2 cm)

1. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

2. Montrer que la droite $\left(D\right)$ d’équation $y=x-1$ est asymptote à $\left(C\right)$ au voisinage de $+\infty$, et montrer que $\left(C\right)$ est au-dessus de $\left(D\right)$ sur $[-2;+\infty [$ et en dessous de $\left(D\right)$ sur $]-\infty ;-2]$.

3. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=+\infty$, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.

4. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$

5. Dresser le tableau de variations de $f$.

6. Montrer que l’équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $\mathrm{ℝ}$, et en admettant que $e\sqrt{e}<5$ montrer que $-\frac{3}{2}<\alpha <-1$.

7. Montrer que $I(0,1)$ est le point d’inflexion pour la courbe $\left(C\right)$.

8. Montrer que $y=1$ est l’équation de la tangente au point $I(0,1)$ à la courbe $\left(C\right)$.

9. Construire dans le repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ la droite $\left(D\right)$ et la courbe $\left(C\right)$.

10. En utilisant une intégration par partie montrer que : ${\int }_0^1\left(x+2\right)e^{-x}dx=3-\frac{4}{e}$

11. Calculer, en $c{m}^2$, l’aire du domaine limité par la courbe $\left(C\right)$ et les droites d’équations $y=x-1$ et $x=0$ et $x=1$.

VII- Exercices

7-6/ Exercice 6

Partie I

On considère la fonction $g$ définie par : $g\left(x\right)=1-\left(x+1\right)e^x$

1. Dresser le tableau de variation de $g$.

2. Calculer $g\left(0\right)$.

3. En déduire le signe de $g\left(x\right)$.

Partie II

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x\left(1-e^x\right)$

On désigne par $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

1. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

2. Montrer que la droite $\left(D\right): y=x$ est une asymptote oblique à $\left({\mathcal{C}}_f\right)$  au voisinage de $-\infty$, et préciser la position relative de $\left(D\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

3. Montrer que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées.

4. Montrer que : $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$

5. Dresser le tableau de variation de $f$.

6. Montrer que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet un point d’inflexion $I$ dont on déterminera ses coordonnées.

7. Construire $\left(D\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$.

Partie III

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$.

1. Montrer que pour tout $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ on a : $-1\le u_n\le 0$

2. Déterminer la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$, puis en déduire qu’elle est convergente.

3. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.