Séance 10 - Calcul littéral

Sommaire

I- Expression numérique, expression littérale ou algébrique

1-1/ Expression numérique

1-2/ Expression littérale

1-3/ Calcul d’une expression littérale

II- Simplification d’une expression littérale

2-1/ Définition

2-2/ Supprimer les parenthèses

III- Développement d’une expression littérale

3-1/ Définition

3-2/ Développement simple (Rappel)

3-3/ Double développement

3-4/ Développement et identités remarquables

IV- Factorisation

4-1/ Définition

4-2/ Factorisation

4-3/ Factorisation et identités remarquables

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

5-2/ Exercice 2

5-3/ Exercice 3

5-4/ Exercice 4

5-5/ Exercice 5

5-6/ Exercice 6

5-7/ Exercice 7

I- Expression numérique, expression littérale ou algébrique

1-1/ Expression numérique

Une expression numérique ne contient que des nombres.

Exemple : « $A=-2\times 5+\left(5-8\right)$ » est une expression numérique.

On peut la calculer : $A=-2\times 5+\left(5-8\right)=-10+\left(-3\right)=-13$

I- Expression numérique, expression littérale ou algébrique

1-2/ Expression littérale

Une expression littérale contient des nombres et des lettres représentant des variables.

Exemple : « $B=4x^2+3x+\left(2x-3\right)-\left(x^2+1\right)$ » est une expression littérale.

« $x$ » représente un nombre quelconque. C’est une variable, ou une inconnue.

« $C=4x^2+5y+\left(2x-1\right)-\left(y+1\right)$ » est une expression littérale ayant 2 variables $x$ et $y$.

Chaque lettre représente un nombre.

Si une même lettre figure plusieurs fois dans la même expression, elle y représente le même nombre.

I- Expression numérique, expression littérale ou algébrique

1-3/ Calcul d’une expression littérale

Pour obtenir la valeur numérique d’une expression littérale, il suffit de remplacer chaque variable par la valeur proposée.

Exemple

Soit l’expression littérale : « $A=2x+y-3$ » : elle contient deux variables : « $x$ » et « $y$ ».

Si $x=3$ et si $y=-2$, alors :

$A=2x+y-3=2\times 3+\left(-2\right)-3=6-2-3=4-3=1$

II- Simplification d’une expression littérale

2-1/ Définition

Simplifier une expression, c’est l’écrire sans parenthèses et avec le moins de termes possibles en regroupant ces termes qui se ressemblent, du plus grand au plus petit exposant.

Exemple

II- Simplification d’une expression littérale

2-2/ Supprimer les parenthèses

Règle 1 : Addition et parenthèses

Quand les parenthèses sont précédées du signe « + », on peut supprimer ce « + » et les parenthèses.

Règle 2 : Soustraction et parenthèses

Quand les parenthèses sont précédées du signe « - », on peut supprimer ce « - » et les parenthèses à condition de multiplier l’expression entre Parenthèses par -1 (changer les signes des termes à l’intérieur des Parenthèses)

Exemple

III- Développement d’une expression littérale

3-1/ Définition

Développer c’est transformer un produit en une somme ou une différence.

III- Développement d’une expression littérale

3-2/ Développement simple (Rappel)

Pour tous nombres a, b et k on a :

Exemple

III- Développement d’une expression littérale

3-3/ Double développement

Quelles que soient les valeurs de a, b, c et d, on a :

$$\begin{gathered} \overline{) \\ \left(a+b\right)\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd \\ } \end{gathered}$$

Exemple

III- Développement d’une expression littérale

3-4/ Développement et identités remarquables

$a$ et $b$ sont deux nombres relatifs.

On a :

1. Carré d'une somme : ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$

2. Carré d'une différence : ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$

3. Produit d'une somme de deux nombres par leur différence : $\left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^2-b^2$

IV- Factorisation

4-1/ Définition

Factoriser, c’est transformer une somme ou une différence en un produit.

IV- Factorisation

4-2/ Factorisation

Pour tous nombres a, b et k on a :

Ce facteur commun peut être :

1. Un nombre

Exemple

2. Une variable

Exemple

3. Une expression

Exemple

IV- Factorisation

4-3/ Factorisation et identités remarquables

$a$ et $b$ sont deux nombres relatifs.

$$\begin{gathered} a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2 \\ {a}^2-2ab+b^2={\left(a-b\right)}^2 \\ {a}^2-b^2=\left(a+b\right)\left(a-b\right) \end{gathered}$$

Exemple

V- Exercices

5-1/ Exercice 1

On considère l'expression $I=7x^2-4x+8$.

Calculer $I$ pour

1. $x=3$

2. $x=-4$

3. $x=-3$

V- Exercices

5-2/ Exercice 2

Supprimer les parenthèses puis simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=\left(4x-8\right)-\left(3x-7\right)+\left(-2x+3\right) \\ B=\left(6x^2-5x+7\right)-\left(4x^2-5x-5\right) \\ C=-\left(3x^2-5x+2\right)+\left(2x^2-2x+8\right)-\left(3-2x+2x^2\right) \end{gathered}$$

V- Exercices

5-3/ Exercice 3

Développer puis réduire les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=3\left(2x-4\right)+5\left(3-x\right) \\ B=2x\left(5+3x\right)-4\left(x+5\right) \\ C=\left(4x+5\right)\left(3x+2\right) \\ D=\left(5x-2\right)\left(x+7\right) \\ E=\left(6x-4\right)\left(2x-8\right) \\ F=\left(3x+2\right)\left(2x-5\right)-\left(6x-5\right)\left(4x+2\right) \end{gathered}$$

V- Exercices

5-4/ Exercice 4

Développer les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A={\left(3x+4\right)}^2 \\ B={\left(\frac{7}{6}x+\frac{10}{9}\right)}^2 \\ C={\left(9x-6\right)}^2 \\ D={\left(\frac{1}{7}x-\frac{9}{10}\right)}^2 \\ E=\left(2x+9\right)\times \left(2x-9\right) \\ F=\left(\frac{3}{8}x-\frac{2}{3}\right)\times \left(\frac{2}{3}x+\frac{3}{8}\right) \end{gathered}$$

V- Exercices

5-5/ Exercice 5

Factoriser et simplifier les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=2a^2+6a \\ B=-25ab-5abc \\ C=24a{b}^2+12a^{2}b-4abc \\ D=\frac{3}{2}a\left(x+\frac{1}{2}\right)-\frac{6}{2}a\left(\frac{2}{3}x-3\right) \\ E=\frac{14}{3}{a}^2-6a\left(\frac{a}{3}+3\right)+\frac{8}{3}a \\ F=\frac{25}{2}{x}^2\left(x-2\right)+\frac{5x}{4}\left(x-2\right) \end{gathered}$$

V- Exercices

5-6/ Exercice 6

Factoriser les expressions suivantes :

$$\begin{gathered} A=25x^2+20x+4 \\ B=81-36x+4x^2 \\ C=144-4x^2 \\ D=\frac{9x^2}{4}-\frac{1}{9} \\ E=\frac{16}{9}{x}^2+\frac{16}{9}x+\frac{4}{9} \\ F=9x^2-\frac{9}{2}x+\frac{9}{16} \end{gathered}$$

V- Exercices

5-7/ Exercice 7

Soit $E={(3x+2)}^2-(3x+2)(x+7)$

1. Développer et simplifier $E$

2. Factoriser $E$

3. Calculer $E$ pour $x=2$ et $x=-1$