Mathématiques : 3ème Année Collège

Séance 7 (Triangle rectangle et trigonométrie)

 

 

Professeur : Mr BENGHANI Youssef

 

Sommaire

 

I- Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

1-1/ Cosinus d’un angle aigu

1-2/ Sinus d’un angle aigu

1-3/ Tangente d’un angle aigu

1-4/ Propriété

II- Formules trigonométriques

2-1/ Propriété 1

2-2/ Propriété 2

2-3/ Angles particuliers

III- Exercices

3-1/ Exercice 1

3-2/ Exercice 2

3-3/ Exercice 3

3-4/ Exercice 4

3-5/ Exercice 5

3-6/ Exercice 6

 


I- Cosinus, sinus et tangente d’un angle aigu

 

1-1/ Cosinus d’un angle aigu

Définition

Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté adjacent sur l’hypoténuse.

Exemple

Dans un triangle ABC rectangle en A :

 

 

1-2/ Sinus d’un angle aigu

Définition

Le sinus d’un angle aigu est égal au quotient du côté opposé sur l’hypoténuse.

Exemple

Dans un triangle ABC rectangle en A :

 

 

1-3/ Tangente d’un angle aigu

Définition

La tangente d’un angle aigu est égale au quotient du côté opposé sur le côté adjacent.

Exemple

Dans un triangle ABC rectangle en A :

 

 

1-4/ Propriété

 

II- Formules trigonométriques

 

2-1/ Propriété 1

Pour tout angle aigu a^ on a :

 cos2a^+sin2a^=1  tana^=sina^cosa^

 

 

2-2/ Propriété 2

Si a^ et b^ sont les mesures de deux angles complémentaires a^+b^=90°, alors :

 cosa^=sinb^  sina^=cosb^  tana^=1tanb^  

 

 

2-3/ Angles particuliers

 

x 30° 45° 60° 90°
sinx 0 12 22 32 1
cosx 1 32 22 12 0
tanx 0 33 1 3 Indéterminé

 

III- Exercices

 

3-1/ Exercice 1

ABC est un triangle tel que : AB=3 et AC=1 et BC=2

 

  1. Prouver que le triangle ABC est rectangle
  2. Calculer cosABC^sinABC^ et tanABC^
  3. Déduire la mesure de l’angle ABC^

 

 

3-2/ Exercice 2

ABC est un triangle rectangle en A tel que : sinABC^=35 et BC=15cm

  1. Calculer cosABC^ et tanABC^
  2. Calculer AB puis AC

 

 

3-3/ Exercice 3

α est la mesure d’un angle aigu tel que : 0<α<90°
 
Simplifier :

 A=cosαsinα+cosα-sinαcosα-sinα=                                B=11+sinα+11-sinα-2cos2α= C=sinα×1-cosα×1+cosα+cos2α= D=2sin2α+2sin45°cos2α=

 

 

3-4/ Exercice 4

α est la mesure d’un angle non nul :

  1. Calculer cosα et tanα sachant que sinα=57
  1. Calculer sinα et tanα sachant que cosα=45
  1. Calculer cosα et sinα sachant que tanα=6

 

 

3-5/ Exercice 5

Calculer :

 A=2cos15°+cos236°-2sin75°+cos254° B=cos228°-sin251°+cos262°+cos239° C=tan73°×tan17°-sin240°-sin250° D=sin233°-4sin230°+sin257°+3tan50°×tan40°=                        

 

 

3-6/ Exercice 6

a et b et c sont les mesures des angles d’un triangle.

Montrer que :

 cos2a+b2+cos2c2=1