Séance 4 - Symétrie axiale

Sommaire

I- Symétrique d’un point

II- Symétrique d’un segment

III- Conservation de l’alignement des points

IV- Symétrique d’une demi-droite

V- Symétrique d’une droite

VI- Symétrique d’un angle

VII- Symétrique d’un cercle

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

8-2/ Exercice 2

8-3/ Exercice 3

8-4/ Exercice 4

8-5/ Exercice 5

8-6/ Exercice 6

8-7/ Exercice 7

I- Symétrique d’un point

1-1/ Définition

Le symétrique d’un point A par une symétrie axiale d’axe (D) est le point A’ tel que (D) soit la médiatrice du segment [A A’].

1-2/ Exemple

• Le point A' est appelé : Le symétrique du point A par rapport à la droite (D).
• La droite (D) est appelée : Axe de symétrie.

Si le point M' est le symétrique d’un point M par rapport à une droite (D), alors M est aussi le symétrique de M' par rapport à (D).

On dit que les points M et M' sont deux points symétriques par rapport à (D).

1-3/ Remarque

Si un point A appartient à (D), alors ce point est le symétrique de lui-même par rapport à (D).

II- Symétrique d’un segment

2-1/ Propriété

Soit $\left(\Delta \right)$ une droite et [AB] un segment.

Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite (∆), alors le symétrique du segment [AB] par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ est le segment [A′B′].

On a : A′B′ = AB, on dit que la symétrie axiale conserve les longueurs.

2-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• A' est le symétrique de A
• B' est le symétrique de B

Donc le segment [A’B’] est le symétrique du segment [AB].

III- Conservation de l’alignement des points

3-1/ Propriété

Les symétriques des points alignés par rapport à une droite sont aussi des points alignés.

On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement des points.

3-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• A′ est le symétrique de A
• B′ est le symétrique de B
• C′ est le symétrique de C

Puisque les points A, B, C sont alignés, alors les points A′, B′, C′ sont alignés.

IV- Symétrique d’une demi-droite

4-1/ Propriété

Soit $\left(\Delta \right)$ une droite et [AB) une demi-droite.

Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$, alors le symétrique de la demi-droite [AB) par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ est la demi-droite [A′B′).

4-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• A′ est le symétrique de A
• B′ est le symétrique de B

Donc la demi-droite [A′B′) est le symétrique de la demi-droite [AB).

V- Symétrique d’une droite

5-1/ Propriété

Soient $\left(\Delta \right)$ et (AB) deux droites.

Si A′ et B′ sont les symétriques respectifs des points A et B par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$, alors le symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ est la droite (A′B′).

5-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• A′ est le symétrique de A
• B′ est le symétrique de B

Donc la droite (A′B′) est le symétrique de la droite (AB).

Donc la droite (D′) est le symétrique de la droite (D).

VI- Symétrique d’un angle

6-1/ Propriété

Soit $\left(\Delta \right)$ une droite et $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}}$ un angle.

Si A′, O’et B′ sont les symétriques respectifs des points A, O et B par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$, alors le symétrique de l’angle $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}}$ par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ est l’angle $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{O}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}}$.

On a : $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{O}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}}$, on dit que la symétrie axiale conserve la mesure d’angles.

6-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• A' est le symétrique de A
• O' est le symétrique de O
• B' est le symétrique de B

Donc l’angle $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{\text{'}}\mathrm{O}\mathrm{\text{'}}\mathrm{B}\mathrm{\text{'}}}$ est le symétrique de l’angle $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}}$.

VII- Symétrique d’un cercle

7-1/ Propriété

Soit $\left(\Delta \right)$ une droite et (C) un cercle de centre O et de rayon r.

Si O′ est le symétrique de O par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$, alors le symétrique du cercle (C) par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ est le cercle (C′) de centre O′ et de même rayon r.

7-2/ Exemple

Par rapport à la droite $\left(\Delta \right)$ on a :

• O′ est le symétrique de O

Donc le cercle (O;r) est le symétrique du cercle C′(O′;r).

IIX- Exercices

8-1/ Exercice 1

1) Construire avec l’équerre graduée les symétriques des points A et B par rapport à la droite (d).

2) Construire avec le compas les symétriques des points C et E par rapport à la droite (d).

IIX- Exercices

8-2/ Exercice 2

Soit la figure suivante :

1) Quel est le symétrique par rapport à la droite (d) de :

• A ? ____
• B ? ____
• C ? ____
• D ? ____

2) Quel est le symétrique par rapport à la droite (d') de :

• A ? ____
• B ? ____
• C ? ____
• D ? ____

3) Indiquer une droite non tracée sur la figure, par rapport à laquelle les points A et B sont symétriques.

IIX- Exercices

8-3/ Exercice 3

ABC est un triangle isocèle en A tel que : AC= 3 cm.

1. Construire B' le symétrique de B par rapport à la droite (AC).
2. Construire C' le symétrique de C par rapport à la droite (AB).
3. Montrer que : AB'=AC'.
4. Conclure que les points B, C, B' et C' appartiennent au même cercle. Déterminer son centre.

IIX- Exercices

8-4/ Exercice 4

ABC est un triangle tel que : $AB=3cm$, $\widehat{BAC}=100°$ et $\widehat{ABC}=30°$.

Soit M le milieu du segment [BC].

E est le symétrique de B par rapport à la droite (AM).

F est le symétrique de C par rapport à la droite (AM).

1. Construire la figure convenable.
2. Calculer AE.
3. Déterminer le symétrique de l’angle $\widehat{BAC}$ par rapport à la droite (AM). Justifier votre réponse.
4. Calculer les mesures des angles du triangle AEF.

IIX- Exercices

8-5/ Exercice 5

ABCD est un quadrilatère convexe (non croisé) tel que $\widehat{DAB}=40°$ , et I est le milieu du segment [AB].

1. Construire la figure convenable.
2. Construire les points A' , B' et I' les symétriques respectifs des points A, B et I par rapport à la droite (CD).
3. Montrer que les points A' , B' et I' sont alignés.
4. Comparer AI et A'I' ; puis BI et B'I'.
5. Montrer que I' est le milieu du segment [A'B'].
6. Calculer la mesure de l’angle $\widehat{D\text{'}A\text{'}B\text{'}}$.

IIX- Exercices

8-6/ Exercice 6

$A$ et $B$ sont les points d'intersection des cercles $C(O;2cm)$ et $C\text{'}(I;4cm)$ tel que $OI=3cm$.

1. Faire une figure.

2. La droite $\left(AB\right)$ est-elle un axe de symétrie de la figure ? justifier.

3. Montrer que $B$ est le symétrique de A par rapport à la droite $\left(OI\right)$.

4. En déduire l'axe de symétrie de la figure.

5. Quelle est la symétrique de la demi-droite $\left[OA\right)$ par rapport à la droite $\left(OI\right)$ ?

IIX- Exercices

8-7/ Exercice 7

L’axe de symétrie de la figure suivante a été effacé :

1. Retrouver l'axe de symétrie $\left(L\right)$ sachant que $A\text{'}$ est le symétrique de $A$ par rapport à $\left(L\right)$.

Soient $B\text{'}$ et $C\text{'}$ les symétriques respectifs de $B$ et $C$ par rapport à $\left(L\right)$.

2. Quelle est la nature du triangle $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ ? Justifier.

3. Déterminer, en justifiant la réponse, l'aire du triangle $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$.