الرياضيات للشعب العلمية والتكنولوجية 2016 الدورة العادية: التصحيح

الشعبة :	العلوم التجريبية	السنة :	2016
المسلك :	العلوم الفيزيائية	الدورة :	العادية
المادة :	الرياضيات	المدة :	3 ساعات

التمرين الأول: المتتاليات العددية

$1$ لیكن $n$ من $ℕ$ لدينا:

$u_{n + 1} - 3 = \frac{3 + u_{n}}{5 - u_{n}} - 3 u_{n + 1} - 3 = \frac{3 + u_{n} - 15 + 3 u_{n}}{5 - u_{n}} u_{n + 1} - 3 = \frac{4 u_{n} - 12}{5 - u_{n}} u_{n + 1} - 3 = \frac{4 (u_{n} - 3)}{2 + (3 - u_{n})}$

* بين بالترجع أن $u_{n} < 3$ لكل $n$ من $ℕ$

$n = 0 \Rightarrow u_{0} = 2 < 3$

لیكن $n$ من $ℕ$

نفترض أن $u_{n} < 3$ ولنبين أن $u_{n + 1} < 3$

لدينا

$u_{n + 1} - 3 = \frac{4 (u_{n} - 3)}{2 + (3 - u_{n})}$

ولدينا

$u_{n} < 3 \Rightarrow \{\begin{cases} 4 (u_{n} - 3) < 0 \\ 2 + (3 - u_{n}) > 0 \end{cases} \Rightarrow \frac{4 (u_{n} - 3)}{2 + (3 - u_{n})} < 0 \Rightarrow u_{n + 1} - 3 < 0 \Rightarrow u_{n + 1} < 3$

الخلاصة:

$(\forall n \in ℕ) u_{n} < 3$

$2$

$أ$ لدينا

$v_{n + 1} = \frac{u_{n + 1} - 1}{3 - u_{n + 1}} v_{n + 1} = \frac{\frac{3 + u_{n}}{5 - u_{n}} - 1}{3 - \frac{3 + u_{n}}{5 - u_{n}}} v_{n + 1} = \frac{3 + u_{n} - 5 + u_{n}}{15 - 3 u_{n} - 3 - u_{n}} v_{n + 1} = \frac{2 u_{n} - 2}{- 4 u_{n} + 12}$

أي

$v_{n + 1} = \frac{1}{2} \frac{u_{n} - 1}{3 - u_{n}} v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$

إذن $v_{n}$ متتالیة ھندسیة أساسھا $\frac{1}{2}$

ولدينا $v_{0} = \frac{u_{0} - 1}{3 - u_{0}} = 1$

الخلاصة:

$(\forall n \in ℕ) v_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$

$ب$ لیكن $n$ من $ℕ$

$v_{n} = \frac{u_{n} - 1}{3 - u_{n}} \Rightarrow 3 v_{n} - v_{n} u_{n} = u_{n} - 1 \Rightarrow u_{n} + v_{n} u_{n} = 3 v_{n} + 1 \Rightarrow u_{n} (1 + v_{n}) = 3 v_{n} + 1 \Rightarrow u_{n} = \frac{1 + 3 v_{n}}{1 + v_{n}}$

لنكتب $u_{n}$ بدلالة $n$

لدينا

$u_{n} = \frac{1 + 3 v_{n}}{1 + v_{n}} u_{n} = \frac{1 + 3 {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 + {(\frac{1}{2})}^{n}}$

$ج$ لدينا

$- 1 < \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} u_{n} = 1$

التمرين الثاني: الهندسة الفضائية

$1$

$أ$ لدينا $\vec{A B} (1, 0, - 1)$ و $\vec{A C} (0, 1, - 2)$

إذن

$\vec{A B} \land \vec{A C} = |\begin{matrix} 0 & - 2 \\ 1 & 2 \end{matrix}| \vec{i} - |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{matrix}| \vec{j} + |\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}| \vec{k} \vec{A B} \land \vec{A C} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j} + \vec{k}$

$ب$ لدينا $\vec{A B} \land \vec{A C}$ منظمية على $(A B C)$

إذن معادلة المستوى $(A B C)$ تكتب على شكل $2 x + 2 y + z + d = 0$

ولدينا $A \in (A B C)$ إذن $4 + 2 + 3 + d = 0 \Rightarrow d = - 9$

الخلاصة: $2 x + 2 y + z - 9 = 0$ هي معادلة ديكارتية للمستوى $(A B C)$

$2$

$أ$ لتكن $M (x, y, z)$ نقطة من الفضاء

لدينا

$M \in (S) \Leftrightarrow (x^{2} - 2 x) + (y^{2} + 2 y) + z^{2} = 34 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} - 1 + {(y + 1)}^{2} - 1 + z^{2} = 34 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + z^{2} = 36$

الخلاصة: مركز الفلكة $(S)$ هو النقطة $Ω (1, - 1, 0)$ وشعاعها هو $6$

$ب$ لدينا

$d (Ω, (A B C)) = \frac{|2 \times 1 + 2 \times (- 1) + 0 - 9|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}}} = 3$

وبما أن $d (Ω, (A B C)) < 6$ فإن المستوى $(A B C)$ يقطع الفلكة $(S)$ وفق دائرة $(Γ)$

$3$

$أ$ لدينا $\vec{A B} \land \vec{A C}$ منظمية على $(A B C)$

بما أن $(Δ) ⊥ (A B C)$ فإن $\vec{A B} \land \vec{A C}$ موجهة للمستقيم $(Δ)$

ولدينا $Ω \in (Δ)$

إذن التمثيل البارامتري للمستقيم $(Δ)$ هو

$(\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = t \end{matrix}) (t \in ℝ)$

$ب$ مركز الدائرة $(Γ)$ هو المسقط العمودي للنقطة $Ω$ على المستوى $(A B C)$ ، أي نقطة تقاطع $(A B C)$ و $(Δ)$

بتعویض إحداثیات $B$ في التمثیل البارامیتري للمستقیم $(Δ)$ نجد:

$(\begin{matrix} 3 = 1 + 2 t \\ 1 = - 1 + 2 t \\ 1 = t \end{matrix}) \Rightarrow t = 1 \Rightarrow B \in (Δ)$

ولدينا $B \in (A B C)$

الخلاصة:

$(Δ) \cap (A B C) = \{B\}$

التمرين الثالث: الأعداد العقدية

$1$ مميز المعادلة $z^{2} - 4 z + 29 = 0$ هو

$Δ = {(- 4)}^{2} - 4 \times 1 \times 29 = - 100$

إذن للمعادلة حلان مترافقان هما:

$\{\begin{cases} z_{1} = \frac{4 - i \sqrt{100}}{2} = 2 - 5 i \\ z_{2} = \bar{z_{1}} = 2 + 5 i \end{cases}$

الخلاصة:

$S = \{2 - 5 i, 2 + 5 i\}$

$2$

$أ$ لدينا

$u = b - ω u = 5 + 8 i - (2 + 5 i) u = 3 + 3 i$

ومنه

$|u| = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow u = 3 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) \Rightarrow u = 3 \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i . \sin \frac{π}{4}) \Rightarrow a r g (u) = \frac{π}{4} [2 π]$

$ب$ بما أن $\bar{u}$ مرافق $u$ فإن

$a r g (\bar{u}) = - \frac{π}{4} [2 π]$

$ج$ لدينا $a - ω = (5 + 2 i) - (2 + 5 i) = 3 - 3 i = \bar{u}$

ولدينا $Ω A = |a - ω| = |u|$ و $Ω A = |b - ω| = |\bar{u}| = |u|$

إذن

$Ω A = Ω B$

ولدينا

$a r g (\frac{b - ω}{a - ω}) \equiv a r g (\frac{u}{\bar{u}}) [2 π] a r g (\frac{b - ω}{a - ω}) \equiv a r g (u) - a r g (\bar{u}) [2 π] a r g (\frac{b - ω}{a - ω}) \equiv \frac{π}{4} - (- \frac{π}{4}) [2 π] a r g (\frac{b - ω}{a - ω}) \equiv \frac{π}{2} [2 π]$

$د$ لدينا

$\{\begin{cases} Ω A = Ω B \\ a r g (\frac{b - ω}{a - ω}) \equiv \frac{π}{2} [2 π] \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} Ω A = Ω B \\ \hat{(\vec{Ω A}, \vec{Ω B})} \equiv \frac{π}{2} [2 π] \end{cases}$

وبالتالي صورة النقطة $A$ بالدوران $R$ الذي مركزه $Ω$ وزاويته $\frac{π}{2}$ هي النقطة $B$

التمرين الرابع: حساب الاحتمالات

$1$ نسحب عشوائيا وفي آن واحد كرتين من الصندوق

إذن كل نتیجة للتجربة ھي تأليفة لعنصرین من بین $10$ عناصر ومنه

$c a r d ω = C_{10}^{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

الحدث $A$ : “الكرتان المسحوبتان حمراوان”

إذن

$c a r d A = C_{4}^{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

الخلاصة:

$p (A) = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

$2$ ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين

$أ$ قيم $X$ هي:

$2$ عند سحب كرتين حمراوتين
$3$ عند سحب كرة حمراء وكرة خضراء
$4$ عند سحب كرتين خضراوتين

إذن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي $X$ هي $\{2, 3, 4\}$

$ب$ الحدث $\{X = 3\}$ يعني سحب كرة حمراء وكرة خضراء

إذن

$c a r d (X = 3) = C_{4}^{1} . C_{6}^{1} = 24$

ومنه

$p (X = 3) = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

ولدينا $p (X = 2) = p (A) = \frac{2}{15}$ و $p (X = 4) = \frac{C_{6}^{2}}{45} = \frac{15}{45} = \frac{5}{15}$

الخلاصة: قانون احتمال $X$ هو

$4$	$3$	$2$	$x_{i}$
$\frac{5}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$	$P (X = x_{i})$

مسألة: دراسة دالة عددية وحساب التكامل

$I$

$1$

$أ$ لدينا $\lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$

إذن

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} (2 x - 2) = - \infty$

$ب$ لدينا

$A = \lim_{x \to - \infty} f (x) - (2 x - 2) A = \lim_{x \to - \infty} (e^{2 x} - 4 e^{x}) A = \lim_{x \to - \infty} e^{x} (e^{x} - 4) A = 0$

إذن المستقيم $(D)$ الذي معادلته $y = 2 x - 2$ مقارب للمنحنى $(C_{f})$ بجوار $- \infty$

$2$

$أ$ لدينا $\lim_{x \to + \infty} e^{x} = + \infty$

إذن

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$

$ب$ لدينا

$B = \lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} B = \lim_{x \to + \infty} (2 - \frac{2}{x} + \frac{e^{x}}{x} (e^{x} - 4)) B = + \infty$

هندسيا $(C_{f})$ يقبل فرعا شلجميا في إتجاه محور الأراتيب بجوار $+ \infty$

$3$

$أ$ لیكن $x$ من $ℝ$

$f' (x) = 2 + 2 e^{2} - 4 e^{x} f' (x) = 2 {(e^{2 x} - 2 e^{x} + 1)}^{2} f' (x) = 2 {(e^{x} - 1)}^{2}$

$ب$ لدينا $\forall x \in ℝ, f' (x) \geq 0$

ولدينا $f' (x) = 0 \Leftrightarrow e^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

جدول التغیرات:

$ج$ الدالة $f$ متصلة وتزايدية قطعا على $] 1, \ln 4 [$

إذن المعادلة $f (x) = 0$ تقبل حلا وحيدا $α$ في $] 1, \ln 4 [$ حسب مبرهنة القيم الوسطية

ومنه يوجد عدد حقيقي وحيد $α$ من المجال $] 1, \ln 4 [$ بحيث $f (α) = 0$

$4$

$أ$ لیكن $x$ من $ℝ$

لدينا $f (x) - (2 x - 2) = e^{2 x} - 4 e^{x} = e^{x} (e^{x} - 4)$

وبما أن $e^{x} > 0$ فإن إشارة $f (x) - (2 x - 2)$ هي إشارة $(e^{x} - 4)$

ولدينا $e^{x} - 4 > 0 \Leftrightarrow x > \ln 4$

إذن $\forall x \in] - \infty, \ln 4 [, f (x) < (2 x - 2)$

وبالتالي $(C_{f})$ يوجد فوق المستقيم $(D)$ على المجال $] \ln 4, + \infty [$

ولدينا $e^{x} - 4 < 0 \Leftrightarrow x < \ln 4$

إذن $(C_{f})$ يوجد تحت المستقيم $(D)$ على المجال $] - \infty, \ln 4 [$

$ب$ لدينا $\forall x \in ℝ, f " (x) = 4 (e^{x} - 1) e^{x}$

ولدينا

$f " (0) = 0$ و $\{\begin{cases} x > 0 \Rightarrow f " (x) > 0 \\ x < 0 \Rightarrow f " (x) < 0 \end{cases}$

بما أن $f " (x)$ تنعدم في $0$ مع تغير إشارتها فإن $I (0, - 5)$ نقطة انعطاف $(C_{f})$

$ج$ إنشاء $(C_{f})$

$5$

$أ$ لدينا

$A = \int_{0}^{\ln 4} (e^{2 x} - 4 e^{x}) d x A = {[\frac{e^{2 x}}{2} - 4 e^{x}]}_{0}^{\ln 4} A = (\frac{e^{2 \ln 4}}{2} - 4 e^{\ln 4}) - (\frac{1}{2} - 4) A = (8 - 16) + \frac{7}{2} A = - 8 + \frac{7}{2} = - \frac{9}{2} \int_{0}^{\ln 4} (e^{2 x} - 4 e^{x}) d x = - \frac{9}{2}$

$ب$ المساحة $S$ هي:

$S = \int_{0}^{\ln 4} |f (x) - (2 x - 2)| d x S = \int_{0}^{\ln 4} |e^{2 x} - 4 e^{x}| d x S = \int_{0}^{\ln 4} |e^{x} (e^{x} - 4)| d x S = \int_{0}^{\ln 4} - e^{x} (e^{x} - 4) d x (e^{x} \leq 4) S = \int_{0}^{\ln 4} (e^{2 x} - 4 e^{x}) d x [c m^{2}]$

$I I$

$1$

$أ$ المعادلة المميزة ب $(E)$ هي: $r^{2} - 3 r + 2 = 0$

لدينا

$Δ = {(- 3)}^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} r_{1} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \\ r_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \end{cases}$

إذن حلول $(E)$ هي الدوال المعرفة بما يلي: $x \mapsto α e^{x} + β e^{2 x} (α, β \in ℝ)$

$ب$ ليكن $g$ حل المعادلة $(E)$ الذي يحقق الشرطين $g (0) = - 3$ و $g' (0) = - 2$

لدينا

$(\exists (α, β) \in ℝ^{2}) (\forall x \in ℝ) : g (x) = α e^{x} + β e^{2 x} \Rightarrow (\forall x \in ℝ) : g' (x) = α e^{x} + 2 β e^{2 x} \Rightarrow \{\begin{cases} g (0) = α + β = - 3 \\ g' (0) = α + 2 β = - 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} α = - 4 \\ β = 1 \end{cases}$

الخلاصة:

$(\forall x \in ℝ) : g (x) = - 4 e^{x} + e^{2 x}$

$2$

$أ$ الدالة $x \mapsto e^{2 x} - 4 e^{x}$ قابلة للاشتقاق على $] \ln 4, + \infty [$

ولدينا $\forall x \in] \ln 4, + \infty [; e^{2 x} - 4 e^{x} > 0$

إذن الدالة $h (x) = \ln (e^{2 x} - 4 e^{x})$ قابلة للاشتقاق على $] \ln 4, + \infty [$ ومشتقتها هي:

$\forall x \in] \ln 4, + \infty [; h' (x) = \frac{2 e^{2 x} - 4 e^{x}}{e^{2 x} + 4 e^{x}} = 2 \frac{e^{x} - 2}{e^{x} - 4}$

بما أن $x > \ln 4$ فإن $e^{x} - 2 > 0$ و $e^{x} - 4 > 0$ أي $h' (x) >RetourMaroc Primaire Collège Lycée France Primaire Collège Lycée Plus Prépas CPGE Divertissement Vocabulaire Connexion S'inscrire CGU CGV Contact © 2024 AlloSchool . Tous droits réservés.\times Rechercher Rechercher Rechercher Fermerwindow.siteUrl = 'https://www.alloschool.com';
window.language = 'fr';
window.dragDropStr = 'Glisser-déposer des Fichiers';
window.uploadStr = ' Téléverser';
window.csrfToken = 'sUNqRcWMMNPjj2dh3mHUrE3jMzCwCR4eXQfmZClV';window.dataLayer = window.dataLayer || [];
function gtag(){dataLayer.push(arguments);} gtag('js', new Date()); gtag('config', 'G-6TE66QE9V3');$