الرياضيات للشعب العلمية والتكنولوجية 2016 الدورة العادية: الموضوع

الشعبة :

العلوم التجريبية

السنة :

2016

المسلك :

العلوم الفيزيائية

الدورة :

العادية

المادة :

الرياضيات

المدة :

3 ساعات

التمرين الأول: المتتاليات العددية

نعتبر المتتالية العددية un المعرفة بمايلي:

u0=2un+1=3+un5-un, n

1 تحقق من أن un+1-3=4un-32+3-un لكل n من  ثم بين بالترجع أن un<3 لكل n من 

2 لتكن vn المتتالية العددية المعرفة بمايلي: vn=un-13-un لكل n من 

أ بين أن vn متتالية هندسية أساسها 12 ثم استنتج أن vn=12n لكل n من 

ب بين أن un=1+3vn1+vn لكل n من  ثم اكتب un بدلالة n

ج حدد نهاية المتتالية un

التمرين الثاني: الهندسة الفضائية

نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر O,i,j,k، النقط A2,1,3 وB3,1,1 وC2,2,1 والفلكة S التي معادلتها x2+y2+z2-2x+2y-34=0

1

أ بين أن ABAC=2i+2j+k

ب استنتج أن 2x+2y+z-9=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى ABC

2

أ بين أن مركز الفلكة S هو النقطة Ω1,-1,0 وأن شعاعها هو 6

ب بين أن dΩ,ABC=3 واستنتج أن المستوى ABC يقطع الفلكة S وفق دائرة Γ

3

أ حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم Δ المار من النقطة Ω والعمودي على المستوى ABC

ب بين أن مركز الدائرة Γ هو النقطة B

التمرين الثالث: الأعداد العقدية

1 حل في مجموعة الأعداد العقدية  المعادلة z2-4z+29=0

2 نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر O,e1,e2، النقط Ω وA وB التي ألحاقها على التوالي هي ω وa وb بحيث ω=2+5i وa=5+2i وb=5+8i

أ ليكن u العدد العقدي بحيث u=b-ω

تحقق من أن u=3+3i ثم بين أن arguπ42π

ب حدد عمدة للعدد العقدي u¯ (u¯ يرمز لمرافق العدد العقدي u)

ج تحقق من أن a-ω=u¯ ثم استنتج أن ΩA=ΩB وأن argb-ωa-ωπ22π

د نعتبر الدوران R الذي مركزه Ω وزاويته π2

حدد صورة النقطة A بالدوران R

التمرين الرابع: حساب الاحتمالات

يحتوي صندوق على 10 كرات : 4 كرات حمراء و6 كرات خضراء (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس)

نسحب عشوائيا وفي آن واحد كرتين من الصندوق

1 ليكن A الحدث: “الكرتان المسحوبتان حمراوان”

بين أن: pA=215

2 ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين

أ بين أن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي 2,3,4

ب بين أن pX=3=815 ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X

مسألة: دراسة دالة عددية وحساب التكامل

نعتبر الدالة العددية f المعرفة على  بمايلي: f(x)=2x-2+e2x-4ex

و ليكن Cf المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم O,i,j (الوحدة: 1 cm)

I

1

أ بين أن limx-f(x)=-

ب بين أن المستقيم D الذي معادلته y=2x-2 مقارب للمنحنى Cf بجوار -

2

أ بين أن limx+f(x)=+

ب بين أن limx+f(x)x=+ ثم أول هندسيا النتيجة

3

أ بين أن f'(x)=2ex-12 لكل x من

ب ضع جدول تغيرات الدالة f على  (لاحظ أن f'(0)=0)

ج بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد α من المجال ]1,ln 4[ بحيث f(α)=0

4

أ بين أن المنحنى Cf يوجد فوق المستقيم D على المجال ]ln 4,+[ وتحت المستقيم D على المجال ]-,ln 4[

ب بين أن المنحنى Cf يقبل نقطة انعطاف وحيدة زوج إحداثتيتها هو 0,-5

ج أنشئ المستقيم D والمنحنى Cf في نفس المعلم O,i,j (نأخذ ln 41,4 وα1,3)

5

أ بين أن 0ln 4e2x-4exdx=-92

ب احسب بcm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى Cf والمستقيم D ومحور الأراتيب والمستقيم الذي معادلته x=ln 4

II

1

أ حل المعادلة التفاضلية E : y''-3y'+2y=0

ب حدد الحل g للمعادلة E الذي يحقق الشرطين g(0)=-3 وg'(0)=-2

2 لتكن h الدالة العددية المعرفة على المجال ]ln 4,+[ بمايلي: h(x)=lne2x-4ex

أ بين أن الدالة h تقبل دالة عكسية h-1 وأن h-1 معرفة على

ب تحقق من أن hln 5=ln 5 ثم حدد h-1'ln 5