المعلم في المستوى - إحداثيتا نقطة - إحداثيتا متجهة - تمارين محلولة

1

التمرين 1

نعتبر $A (2, 2)$ و $B (- 1, 3)$ و $C (0, 3)$

$1$ حدد إحداثيتي كل من $\vec{A B}$ و $\vec{A B} + \vec{A C}$

$2$ أحسب المسافات $A B$ و $B C$ و $A C$

$3$ حدد إحداثيتي $D$ بحيث يكون $A B C D$ متوازي أضلاع

$1$ إحداثيات المتجهات:

$\vec{A B} (X_{B} - X_{A}, Y_{B} - Y_{A}) \vec{A B} (- 1 - 2, 3 - 2) \vec{A B} (- 3, 1) \vec{A C} (0 - 2, 3 - 2) \vec{A C} (- 2, 1) \vec{A B} + \vec{A C} (- 3 - 2, 1 + 1) \vec{A B} + \vec{A C} (- 5, 2)$

$2$

$A B = \sqrt{{(X_{B} - X_{A})}^{2} + {(Y_{B} - Y_{A})}^{2}} = \sqrt{{(- 1 - 2)}^{2} + {(3 - 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} B C = \sqrt{{(X_{C} - X_{B})}^{2} + (Y_{C} - Y_{B})} = \sqrt{1 + 0} = 1$

$A C = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$3$ $A B C D$ متوازي الأضلاع إذن:

لدينا $\vec{A B} (- 3, 1)$ و $\vec{A B} = \vec{D C}$

وبالتالي $\{\begin{cases} - 3 = X_{C} - X_{D} \\ 1 = Y_{C} - Y_{D} \end{cases}$

و

أو $\{\begin{cases} - 3 = - X_{D} \\ 1 = 3 - Y_{D} \end{cases}$

أو $\{\begin{cases} X_{D} = 3 \\ Y_{D} = 2 \end{cases}$

إذن $D (3, 2)$
2

التمرين 2

نعتبر $A (- 1, - 1)$ و $B (2, 2)$ و $C (4, 0)$ و $D (1, - 3)$

$1$ بين أن $A B C D$ مستطيل

$2$ نعتبر $K$ بحيث $\vec{A K} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ حدد إحداثيتي $K$

$3$ أنشئ $E$ صورة $A$ بالإزاحة التي تحول $B$ الى $D$

$4$ أنشئ $F$ بحيث $\vec{F C} = \vec{B A} + \vec{B C}$

ما طبيعة الرباعي $A F C E$

$1$

$A B = \sqrt{{(2 + 1)}^{2} + {(2 + 1)}^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}$

$D C = \sqrt{{(1 - 4)}^{2} + {(- 3 - 0)}^{2}} = 3 \sqrt{2}$

إذن $A B = D C$

$A D = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(- 3 + 1)}^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$B C = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

إذن $A D = B C$ وبالتالي الضلعان المتقابلان متساويان

من جهة أخرى $\vec{A B} (3, 3)$ و $\vec{D C} (3, 3)$

إذن $\vec{A B} = \vec{D C}$ إذن $(A B) / / (D C)$ وكذلك $(A D) / / (B C)$

إذن يمكن القول أن $A B C D$ معين يبقى أن نبين وجود زاوية قائمة على الأقل:

$B D = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 5)}^{2}} = \sqrt{26}$

نحسب

$A B^{2} + A D^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = 18 + 8 = 26 = B D^{2}$

وبالتالي حسب مبرهنة فيتاغورس العكسية في المثلث $A B D$

لدينا $A B D$ مثلث قائم الزاوية في $A$

وبالتالي $A B C D$ مستطيل

$2$

لدينا $\vec{A K} (X_{K} + 1, Y_{K} + 1)$

إذن $\vec{A B} (3, 3)$

يعني $\frac{1}{3} \vec{A B} (1, 1)$

$\vec{A K} = \frac{1}{3} \vec{A B}$

يعني أن $\{\begin{cases} X_{K} + 1 = 1 \\ Y_{K} + 1 = 1 \end{cases}$

يعني $K (0, 0)$

$3$

$E$ صورة $A$ بالإزاحة ذات المتجهة $\vec{B D}$ إذن:

$\vec{B D} = \vec{A E}$

وبالتالي يمكن إنشاء $E$ باعتبار الرباعي $A B D E$ متوازي الأضلاع

$4$

لدينا $\vec{F C} = \vec{B A} + \vec{B C}$

باستعمال علاقة شال: $\vec{F B} + \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{B C}$

إذن: $\vec{F B} = \vec{B A}$ أو $\vec{B F} = \vec{A B}$

هكذا تكون $B$ منتصف $[A F]$ ويمكن بذلك إنشاء النقطة $F$ (انظر الشكل)

انتبه: في غالب الأحيان يجب تبسيط علاقة المعطيات للوصول الى كتابة مبسطة

استنتاج $\vec{A F} = \vec{A B} + \vec{B F} = \vec{A B} + \vec{A B} = 2 \vec{A B} \vec{E C} = \vec{E D} + \vec{D C} = \vec{A B} + \vec{A B} = 2 \vec{A B}$

وبالتالي $\vec{A F} = \vec{E C}$

إذن $A F C E$ متوازي الأضلاع
3

التمرين 3

نعتبر النقطتين $A (- 1, 3)$ و $B (5, - 1)$

$1$ حدد إحداثيات $C$ منتصف $[A B]$

$2$ حدد إحداثيات $D$ بحيث $2 \vec{A D} + 3 \vec{B D} = 5 \vec{B A}$

$3$ نعتبر $F (- 4, 5)$ بين أن النقط $A$ و $B$ و $F$ مستقيمية

$1$

$C (\frac{X_{A} + X_{B}}{2}, \frac{Y_{A} + Y_{B}}{2}) C (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{3 - 1}{2}) C (2, 1)$

$2$ لكي نحدد إحداثيات $D$ يجب تبسيط كتابة العلاقة باستعمال علاقة شال:

$2 \vec{A D} + 3 \vec{B D} = 5 \vec{B A}$

أو $2 \vec{A D} + 3 \vec{B A} + 3 \vec{A D} = 5 \vec{B A}$

$5 \vec{A D} = 2 \vec{B A}$

أو $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{B A}$

هكذا $\vec{B A} (- 1 - 5, 3 + 1)$

$\vec{B A} (- 6, 4)$ و $\frac{2}{5} \vec{B A} (\frac{- 12}{5}, \frac{8}{5})$

$\vec{A D} (X_{D} + 1, Y_{D} - 3)$

لدينا $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{B A}$ إذن:

$\{\begin{cases} X_{D} + 1 = \frac{- 12}{5} \\ Y_{D} - 3 = \frac{8}{5} \end{cases}$

إذن

$\{\begin{cases} X_{D} = \frac{- 17}{5} \\ Y_{D} = \frac{23}{5} \end{cases}$

إذن $D (\frac{- 17}{5}, \frac{23}{5})$

$3$

لدينا $\vec{A B} (6, - 4)$

$\vec{A F} (- 4 + 1, 5 - 3)$

أي $\vec{A F} (- 3, 2)$

إذن نلاحظ أن: $- 2 \vec{A F} (6, - 4)$

وبالتالي: $\vec{A B} = - 2 \vec{A F}$

بذلك تكون النقط $A$ و $B$ و $F$ مستقيمية
4

التمرين 4

نعتبر النقط $A (3, - 2)$ و $I (2, 1)$

$1$ حدد إحداثيات $B$ بحيث $I$ منتصف $[A B]$

$2$ لتكن $A' (a, β)$ حدد $a$ و $β$ بحيث تكون $A'$ صورة $A$ بالإزاحة التي متجهتها $\vec{u} (2, - 1)$

$3$ حدد إحداثيات النقطة $B'$ صورة النقطة $B$ بالإزاحة التي متجهتها $\vec{u}$

$1$ لتكن $B (x_{B}, y_{B})$ لدينا $I (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2})$

أو $I (\frac{3 + x_{B}}{2}, \frac{- 2 + y_{B}}{2})$

ولدينا $I (2, 1)$

يمكن استنتاج:

$\{\begin{cases} \frac{3 + x_{B}}{2} = 2 \\ \frac{- 2 + y_{B}}{2} = 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 3 + x_{B} = 4 \\ - 2 + y_{B} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x_{B} = 1 \\ y_{B} = 4 \end{cases}$

إذن $B (1, 4)$

$2$ $A'$ صورة $A$ بالإزاحة التي متجهتها $\vec{U}$ إذن $\vec{U} = \vec{A A'}$

إذن $\vec{A A'} (a - 3, β + 2)$

$\{\begin{cases} a - 3 = 2 \\ β + 2 = - 1 \end{cases}$

وبالتالي

$\{\begin{cases} a = 5 \\ β = - 3 \end{cases}$

$3$ لدينا $\vec{U} = \vec{B B'}$

$\{\begin{cases} x_{B'} - 1 = 2 \\ y_{B'} - 4 = - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x_{B'} = 3 \\ y_{B'} = 2 \end{cases}$

$B' (3, 2)$
5

التمرين 5

نعتبر النقط $A (5, - 3)$ و $B (11, 0)$ و $C (2, 3)$

$1$ ما طبيعة المثلث $A B C$

$2$ لتكن النقطة $E (2, 0)$

بين أن النقط $A$ و $B$ و $C$ و $E$ تنتمي الى دائرة $(ζ)$

يتم تحديد إحداثيتي مركزها $I$ وشعاعها $r$

$1$

$A B = \sqrt{{(11 - 5)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} A C = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} B C = \sqrt{9^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{10}$

إذن $A B C$ متساوي الساقين

من جهة أخرى يجب حساب

$A B^{2} + A C^{2} = 45 + 45 = 90 B C^{2} = 90$

إذن $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$

وبالتالي $A B C$ قائم الزاوية في $A$

$2$ لدينا $C, B, A$ و $E$ تنتمي الى الدائرة $ζ (I, r)$ إذن:

$\{\begin{cases} I A = \\ I C = \end{cases} \begin{array}{r} I B \\ I E \end{array}\}$

$I A^{2} = {(5 - x_{I})}^{2} + (- 3 - y_{I}^{2})$

$I B^{2} = {(11 - x_{I})}^{2} + y_{I}^{2}$

لدينا $I A^{2} = I B^{2}$ إذن

${(5 - x_{I})}^{2} + (- 3 - y_{I}^{2}) = {(11 - x_{I})}^{2} + y_{I}^{2}$

$25 - 10 x_{I} + x_{I}^{2} + 9 + 6 y_{I} + y_{I}^{2} = 121 - 22 x_{I} + x_{I}^{2} + y_{I}^{2}$

$12 x_{I} + 6 y_{I} = 87 (1)$

من جهة أخرى

$I C^{2} = {(2 - x_{I})}^{2} + (3 - y_{I}^{2})$

$I E^{2} = {(2 - x_{I})}^{2} + y_{I}^{2}$

$I C^{2} = I E^{2}$ إذن

${(2 - x_{I})}^{2} + (3 - y_{I}^{2}) = {(2 - x_{I})}^{2} + y_{I}^{2}$

$4 - 4 x_{I} + x_{I}^{2} + 9 - 6 y_{I} + y_{I}^{2} = 4 - 4 x_{I} + x_{I}^{2} + y_{I}^{2}$

بعد الاختزال

$9 - 6 y_{I} = 0 6 y_{I} = 9 y_{I} = \frac{3}{2}$

وبتعويض $y_{I}$ في العلاقة $(1)$ نحصل:

$12 x_{I} + 6 \times \frac{3}{2} = 87$

$12 x_{I} = 78 x_{I} = \frac{78}{12} = \frac{13}{2}$

وبالتالي إحداثيات $I (\frac{13}{2}, \frac{3}{2})$

$r = I A = \sqrt{{(5 - \frac{13}{2})}^{2} + {(- 3 - \frac{3}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{18}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

وبالتالي $ζ (I (\frac{13}{2}, \frac{3}{2}), \frac{3 \sqrt{2}}{2})$

Retour

المعلم في المستوى - إحداثيتا نقطة - إحداثيتا متجهة - تمارين محلولة

التمرين 1

التمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

Maroc

France

Plus