الزوايا المكونة من متوازيين وقاطع - تمارين محلولة

أعتبر الشكل التالي حيث: $\left(AB\right)//\left(CD\right)$

استخرج من الشكل الزوايا المتقايسة مثنى مثنى

أعتبر المتوازيين $\left(AB\right)$ و $\left(CD\right)$ والقاطع لهما $\left(AD\right)$

لدينا الزاويتان $B\hat{A}D$ و $A\hat{D}C$ متبادلتان داخليا

إذن: $\boxed{B\hat{A}D=A\hat{D}C}$

أعتبر المتوازيين $\left(AB\right)$ و $\left(CD\right)$ والقاطع لهما $\left(BC\right)$

لدينا الزاويتان $A\hat{B}C$ و $B\hat{C}D$ متبادلتان داخليا

إذن: $\boxed{A\hat{B}C=B\hat{C}D}$

بما أن: الزاويتين $A\hat{O}B$ و $C\hat{O}D$ متقابلتان بالرأس وكذلك الزاويتين $A\hat{O}C$ و $B\hat{O}D$

فإن: $\boxed{A\hat{O}B=C\hat{O}D}$ و $\boxed{A\hat{O}C=B\hat{O}D}$

حساب قياسات زوايا المثلث $ACD$

لدينا: $C\hat{A}D=E\hat{A}F$ (زاويتان متقابلتان بالرأس)

و: $A\hat{D}C=M\hat{D}N$ (زاويتان متقابلتان بالرأس)

إذن: $\boxed{C\hat{A}D=70°}$ ( لأن: $E\hat{A}F=70°$ )

و: $\boxed{A\hat{D}C=60°}$ (لأن: $M\hat{D}N=60°$ )

في المثلث $ACD$ لدينا:

$$\begin{gathered} A\hat{C}D=180°-\left(C\hat{A}D+A\hat{D}C\right) \\ =180°-\left(70°+60°\right) \\ =180°-130° \end{gathered}$$

إذن: $\boxed{A\hat{C}D=50°}$

حساب $G\hat{A}C$

أعتبر المتوازيين $\left(AG\right)$ و $\left(CD\right)$ والقاطع لهما $\left(AC\right)$

وبما أن: الزاويتين $G\hat{A}C$ و $A\hat{C}D$ متبادلتان داخليا

فإن: $G\hat{A}C=A\hat{C}D$

ولدينا: $A\hat{C}D=50°$

إذن: $\boxed{G\hat{A}C=50°}$

حساب $A\hat{B}C$ و $F\hat{A}G$ و $A\hat{B}E$

أعتبر المتوازيين $\left({∆}_1\right)$ و $\left({∆}_2\right)$ والقاطع لهما $\left(AB\right)$

بما أن الزاويتين $A\hat{B}C$ و $M\hat{A}N$ متناظرتان

فإن: $A\hat{B}C=M\hat{A}N$

ولدينا: $M\hat{A}N=25°$ إذن: $\boxed{A\hat{B}C=25°}$

في المثلث $ABC$ القائم الزاوية في $A$

لدينا: $A\hat{C}B=90°-A\hat{B}C$

أي أن: $A\hat{C}B=90°-25°$

إذن: $A\hat{C}B=65°$

وبما أن: الزاويتين $A\hat{C}B$ و $F\hat{A}G$ متناظرتان (باعتبار القاطع $\left(AC\right)$) فإن: $F\hat{A}G=A\hat{C}B$

أي أن: $\boxed{F\hat{A}G=65°}$

الزاويتان $A\hat{B}E$ و $A\hat{B}C$ متحاذيتان متكاملتان

إذن: $A\hat{B}E=180°-A\hat{B}C$

أي أن: $A\hat{B}E=180°-25°$

ومنه فإن: $\boxed{A\hat{B}E=155°}$

أبين أن $ABCD$ شبه منحرف

في المثلث $ABD$ و $BCD$ لدينا:

$\left\{\begin{array}{l}A\hat{B}D=180°-\left(B\hat{A}D+A\hat{D}B\right)\\ B\hat{D}C=180°-\left(D\hat{B}C+B\hat{C}D\right)\end{array}\right.$

أي أن: $\left\{\begin{array}{l}A\hat{B}D=180°-\left(130°+35°\right)\\ B\hat{D}C=180°-\left(95°+70°\right)\end{array}\right.$

إذن: $A\hat{B}D=15°$ و $BDC=15°$

ومنه فإن: $\boxed{A\hat{B}D=B\hat{D}C}$

وبما أن: الزاويتين $A\hat{B}D$ و $B\hat{D}C$ متبادلتان داخليا ومحددتان بالمستقيمين $\left(AB\right)$ و $\left(DC\right)$ والقاطع لهما $\left(BD\right)$

فإن: $\left(AB\right)//\left(DC\right)$

ولدينا: $\left(AD\right)$ لا يوازي $\left(BC\right)$

إذن: الرباعي $ABCD$ شبه منحرف قاعدتاه $\left[AB\right]$ و $\left[DC\right]$