الامتحان الوطني الموحد 2015 الدورة العادية: الموضوع والتصحيح

الهندسة الفضائية

$\boxed{1}$ لدينا المتجهة $\overrightarrow{u}\left(1,1,-1\right)$ منظمية على المستوى $\left(P\right)$

إذن معادلته هي $x+y-z+d=0$

$$\begin{gathered} A\in \left(P\right)\iff x_A+y_A-z_A+d=0 \\ \iff 2+1-0+d=0 \\ \iff d=-3 \\ \iff \boxed{\left(P\right):x+y-z-3=0} \end{gathered}$$

$\boxed{2}$

$\left(S\right)$ هي الفلكة التي قطرها $\left[AB\right]$ ومنه مركز $\left(S\right)$ هو $\Omega$ منتصف $\left[AB\right]$

إذن $\Omega \left(-1,1,0\right)$

وشعاعها هو $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{36+0+0}}{2}=3$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ مسافة النقطة $\Omega$ عن المستوى $\left(P\right)$ هي

$d\left(\Omega ,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1+1+0-3\right|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

بما أن $d\left(\Omega ,\left(P\right)\right)<R$ فإن $\left(P\right)$ يقطع $\left(S\right)$ وفق دائرة $\left(C\right)$

$\boxed{ب}$ النقطة $H$ مركز الدائرة $\left(C\right)$ هو المسقط العمودي للنقطة $\Omega$ على المستوى $\left(P\right)$

إذن $H$ هي تقاطع $\left(P\right)$ والمستقيم $\left(\Delta \right)$ المار من $\Omega$ والعمودي على $\left(P\right)$

$\left(\Delta \right)\perp \left(P\right)$ إذن $\overrightarrow{u}\left(1,1,-1\right)$ موجهة للمستقيم $\left(\Delta \right)$

ومنه التمثيل الباراميتري ل$\left(\Delta \right)$ هو

$\left(\begin{array}{c}x=-1+k\\ y=1+k\\ z=-k\end{array}\right)\left(k\in \mathrm{ℝ}\right)$

$$\begin{gathered} H\in \left(\Delta \right)\iff \left(\begin{array}{c}{x}_H=-1+k\\ y_H=1+k\\ z_H=-k\end{array}\right) \\ H\in \left(P\right)\iff x_H+y_H-z_H-3=0 \\ \Rightarrow -1+k+1+k+k-3=0 \\ \Rightarrow k=1 \\ \Rightarrow \boxed{H\left(0,2,-1\right)} \end{gathered}$$

$\boxed{4}$ لدينا $\overrightarrow{OH}\left(0,2,-1\right)$ و $\overrightarrow{OB}\left(-4,1,0\right)$

ومنه

$$\begin{gathered} \overrightarrow{OH}\wedge \overrightarrow{OB}=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right|\overrightarrow{i}-\left|\begin{array}{cc}0& -4\\ -1& 0\end{array}\right|\overrightarrow{j}+\left|\begin{array}{cc}0& -4\\ 2& 1\end{array}\right|\overrightarrow{k} \\ \overrightarrow{OH}\wedge \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}+8\overrightarrow{k} \end{gathered}$$

مساحة المثلة $OHB$ هي

$\boxed{S=\frac{1}{2}||\overrightarrow{OH}\wedge \overrightarrow{OB}||=\frac{1}{2}\sqrt{1+16+64}=\frac{3}{2}}$

الأعداد العقدية

$\boxed{I}$

$\boxed{1}$ معيار العدد العقدي $a$ هو

$$\begin{gathered} \left|a\right|=\sqrt{{\left(2+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2} \\ \left|a\right|=\sqrt{4+4\sqrt{2}+2+2} \\ \left|a\right|=\sqrt{8+4\sqrt{2}} \\ \left|a\right|=\sqrt{4\left(2+\sqrt{2}\right)} \\ \boxed{\left|a\right|=2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}} \end{gathered}$$

$\boxed{2}$

$$\begin{gathered} a=2+\sqrt{2}+i\sqrt{2} \\ a=2\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2i\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \boxed{a=2\left(1+\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+2i\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)} \end{gathered}$$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ إخطاط ${\cos }^2\theta$

$$\begin{gathered} \cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2} \\ \Rightarrow {\cos }^2\theta ={\left(\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}\right)}^2 \\ {\cos }^2\theta =\frac{e^{i2\theta }+2e^{i2\theta }.e^{-i2\theta }+e^{-i2\theta }}{4} \\ {\cos }^2\theta =\frac{e^{i2\theta }+e^{-i2\theta }+2}{4} \\ {\cos }^2\theta =\frac{2\cos 2\theta +2}{4} \\ {\cos }^2\theta =\frac{\cos 2\theta +1}{2} \end{gathered}$$

ومنه

$\boxed{1+\cos 2\theta ={\cos }^2\theta }$

$\boxed{ب}$ لدينا

$$\begin{gathered} a=2\left(1+\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)+2i\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right) \\ a=2\left(1+\cos 2\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)+2i\sin \left(2\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right) \\ a=2.2{\cos }^2\frac{\mathrm{\pi }}{8}+2i2\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8} \\ \boxed{a=4{\cos }^2\frac{\mathrm{\pi }}{8}+4i\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8}} \end{gathered}$$

$\boxed{ج}$ لدينا

$$\begin{gathered} a=4{\cos }^2\frac{\mathrm{\pi }}{8}+4i\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8} \\ a=4\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8}\right) \end{gathered}$$

نعلم أن $\frac{\mathrm{\pi }}{8}\in ]0,\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}[$ أي $\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}>0$

إذن $4\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{8}\right)$ هي شكل مثلثي للعدد $a$

$\bullet$لدينا $\left|a\right|=2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}$

إذن $4\cos \frac{\mathrm{\pi }}{8}=2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}$

ومنه $a=\left[2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)};\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right]$

إذن

$$\begin{gathered} a^4={\left[2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)};\frac{\mathrm{\pi }}{8}\right]}^4 \\ {a}^4=\left[{\left(2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}\right)}^4;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right] \\ {a}^4={\left(2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}\right)}^4\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}+i\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right) \\ \boxed{a^4={\left(2\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)}\right)}^{4}i} \end{gathered}$$

$\boxed{II}$

$\boxed{1}$ لدينا

$$\begin{gathered} B=R\left(A\right)\iff b-\omega =e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(a-\omega \right) \\ \iff b-\omega =ia-i\omega \\ \iff b=ia+\left(1-i\right)\omega \\ \iff b=i\left(2+\sqrt{2}+i\sqrt{2}\right)+\left(1-i\right)\sqrt{2} \\ \iff b=2i+i\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-i\sqrt{2} \\ \iff \boxed{b=2i} \end{gathered}$$

$\boxed{2}$ لدينا $\left|z-2i\right|=2\iff \left|z_M-z_B\right|=2\iff BM=2$

ومنه مجموعة النقط $M$ ذات اللحق $z$ هي الدائرة $\left(\mathcal{C}\right)$ التي مركزها $B$ وشعاعها $2$

حساب الاحتمالات

$\boxed{I}$ ليكن $\Omega$ كون الإمكانيات

لدينا

$Card\Omega =C_7^3=\frac{7.6.5}{6}=35$

ولدينا

$CardA=C_4^1.C_3^2=12$

إذن

$\boxed{p\left(A\right)=\frac{CardA}{Card\Omega }=\frac{12}{35}}$

ثم لدينا $CardB=C_4^3+C_3^3=5$

ومنه

$\boxed{p\left(B\right)=\frac{CardB}{Card\Omega }=\frac{5}{35}=\frac{1}{7}}$

$\boxed{II}$ ليكن $\Omega \text{'}$ كون الإمكانيات

لدينا

$Card\Omega \text{'}=C_7^2\times C_5^1=\frac{7.6}{2}\times 5=105$

ولدينا

$CardC=C_4^2.C_3^1=6\times 3=18$

إذن

$\boxed{p\left(C\right)=\frac{CardC}{Card\Omega \text{'}}=\frac{18}{105}=\frac{6}{35}}$

المسألة: دراسة دالة عددية وحساب التكامل والمتتاليات العددية

$\boxed{I}$

$\boxed{1}$ تحديد $D_f$

$$\begin{gathered} D_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/x\ne 0 و x>0 و1-\ln x\ne 0\right\} \\ {D}_f=\left\{x\in \mathrm{ℝ}/ x>0 و x\ne e\right\} \\ \boxed{D_f=]0,e[\cup ]e,+\infty [} \end{gathered}$$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$

$\underset{x\to e^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to e^{+}}{\lim }\frac{1}{x\left(1-\ln x\right)}=-\infty$

$\underset{x\to e^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to e^{-}}{\lim }\frac{1}{x\left(1-\ln x\right)}=+\infty$

إذن $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يقبل مقاربا عموديا معادلته $x=e$

$\boxed{ب}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }1-\ln x=-\infty و \underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty \\ \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0 \end{gathered}$$

إذن $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يقبل مقاربا أفقيا معادلته $y=0$ بجوار $+\infty$

$\boxed{ج}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0^{+}}{\lim }-x\ln x=0^{+} \\ \Rightarrow \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x-x\ln x}=+\infty \end{gathered}$$

إذن $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ يقبل مقاربا عموديا معادلته $x=0$

$\boxed{3}$

$\boxed{أ}$ لدينا $f$ دالة قابلة للاشتقاق على $D_f$ ولدينا لكل $x$ من $D_f$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left[x\left(1-\ln x\right)\right]\text{'}}{x^2{\left(1-\ln x\right)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=-\frac{\left(1-\ln x\right)+x\left({\displaystyle \frac{-1}{x}}\right)}{x^2{\left(1-\ln x\right)}^2} \\ f\text{'}\left(x\right)=-\frac{1-\ln x-1}{x^2{\left(1-\ln x\right)}^2} \\ \boxed{f\text{'}\left(x\right)=\frac{\ln x}{x^2{\left(1-\ln x\right)}^2}} \end{gathered}$$

$\boxed{ب}$ لدينا $x^2{\left(1-\ln x\right)}^2>0$

ومنه إشارة $f\text{'}\left(x\right)$ هي إشارة $\ln x$ على $D_f$

إذن الدالة $f$ تناقصية على المجال $]0,1]$ وتزايدية على كل من المجالين $[1,e[$ و $]e,+\infty [$

$\boxed{ج}$ جدول تغيرات الدالة $f$ على $D_f$ هو

$\boxed{II}$

$\boxed{1}$

$\boxed{أ}$ المعادلة $x\in ]0,+\infty [ , g\left(x\right)=0$ مبيانيا تعني تحديد أفاصيل نقط تقاطع $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ مع محور الأفاصيل

بما أن $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ يقطع محور الأفاصيل في نقطتين، فإن عدد حلول المعادلة $\left(E\right)$ هو $2$

$\boxed{ب}$ لدينا $g$ دالة متصلة كمجموع وجداء دوال متصلة على $\left[2,2;2,3\right]$

ولدينا $g$ تزايدية قطعا على $\left[2,2;2,3\right]$ و $g\left(2,2\right)<0$ و $g\left(2,3\right)>0$

إذن حسب مبرهنة القيم الوسيطية المعادلة $\left(E\right)$ تقبل حلا $\alpha$ بحيث $2,2<\alpha <2,3$

$\boxed{2}$

$\boxed{أ}$  ليكن $x$ من $D_f$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)-x=\frac{1}{x\left(1-\ln x\right)}-x \\ f\left(x\right)-x=\frac{1-x^2\left(1-\ln x\right)}{x\left(1-\ln x\right)} \\ \boxed{f\left(x\right)-x=\frac{g\left(x\right)}{x\left(1-\ln x\right)}} \end{gathered}$$

 

$\boxed{ب}$  ليكن $x$ من $D_f$

تحديد تقاطع $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ والمستقيم $\left(\Delta \right)$ يعني تحديد حلول المعادلة $f\left(x\right)=x$

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x \\ \Rightarrow f\left(x\right)-x=0 \\ \Rightarrow \frac{g\left(x\right)}{x\left(1-\ln x\right)}=0 \\ \Rightarrow g\left(x\right)=0 \\ \Rightarrow x=1 أو x=\alpha \end{gathered}$$

إذن المستقيم $\left(\Delta \right)$ الذي معادلته $y=x$ يقطع المنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ في النقطتين اللتين أفصولهما $1$ و$\alpha$

$\boxed{ج}$ انطلاقا من $\left({\mathcal{C}}_g\right)$، لدينا $\forall x\in \left[1,\alpha \right] ; g\left(x\right)\le 0$

ليكن $x\in \left[1,\alpha \right]$

$$\begin{gathered} 1<x<2,3<e \\ \Rightarrow \ln x<1 \\ \Rightarrow x\left(1-\ln x\right)>0 \\ \Rightarrow \frac{g\left(x\right)}{x\left(1-\ln x\right)}\le 0 \\ \Rightarrow \boxed{f\left(x\right)-x\le 0} \end{gathered}$$

إذن $f\left(x\right)-x\le 0$ لكل $x$ من $\left[1,\alpha \right]$

$\boxed{3}$ إنشاء المستقيم $\left(\Delta \right)$ والمنحنى $\left({\mathcal{C}}_f\right)$

 

$\boxed{4}$

$\boxed{أ}$ لدينا 

$$\begin{gathered} I={\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{1}{x\left(1-\ln x\right)}dx \\ I={\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$x$}\right.}}{1-\ln x}dx \\ I={\int }_1^{\sqrt{e}}-\frac{{\displaystyle \left(1-\ln x\right)\text{'}}}{1-\ln x}dx \\ I=-{\left[\ln \left(1-\ln x\right)\right]}_1^{\sqrt{e}} \\ I=-\left[\ln \left(1-\frac{1}{2}\right)-\ln \left(1\right)\right] \\ I=-\ln \left(\frac{1}{2}\right) \\ \boxed{I={\int }_1^{\sqrt{e}}\frac{1}{x\left(1-\ln x\right)}dx=\ln \left(2\right)} \end{gathered}$$

$\boxed{ب}$ المساحة المطلوبة هي

$$\begin{gathered} A_{\Delta }={\int }_1^{\sqrt{e}}\left|f\left(x\right)-x\right|dx \left(ua\right) \\ {A}_{\Delta }={\int }_1^{\sqrt{e}}\left(x-f\left(x\right)\right)dx \left(ua\right) \\ {A}_{\Delta }={\int }_1^{\sqrt{e}}xdx-{\int }_1^{\sqrt{e}}f\left(x\right)dx \left(ua\right) \\ {A}_{\Delta }={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_1^{\sqrt{e}}-\ln 2 \left(ua\right) \\ {A}_{\Delta }=\left(\frac{e}{2}-\frac{1}{2}-\ln 2\right) 4 c{m}^2 \\ \boxed{A_{\Delta }=\left(2e-2-4\ln 2\right) c{m}^2} \\ \left(ua=||\overrightarrow{i}||*||\overrightarrow{j}||={\left(2 cm\right)}^2=4 c{m}^2\right) \end{gathered}$$

$\boxed{III}$

$\boxed{1}$ لنبين بالترجع أن $1\le u_n\le \alpha$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$1\le u_0=2\le \alpha$

نفترض أن $1\le u_n\le \alpha$ ولنبين أن $1\le u_{n+1}\le \alpha$

لدينا $1\le u_n\le \alpha$ و$f$ تزايدية على $\left[1,\alpha \right]$

إذن $f\left(1\right)\le f\left(u_n\right)\le f\left(\alpha \right)$

و بما أن $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ و$f\left(1\right)=1$ و$f\left(\alpha \right)=\alpha$

فإن $1\le u_{n+1}\le \alpha$

وبالتالي  $1\le u_n\le \alpha$ لكل $n$ من $\mathrm{\mathbb{N}}$

$\boxed{2}$ حسب نتيجة السؤال $ج-2-II$ لدينا $\forall x\in \left[1,\alpha \right] ; f\left(x\right)-x\le 0$

وبما أن $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} ; u_n\in \left[1,\alpha \right]$ فإن $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} ; f\left(u_n\right)-u_n\le 0$

أي $\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}} ; u_{n+1}-u_n\le 0$

ومنه المتتالية $\left(u_n\right)$ تناقصية

$\boxed{3}$ بما أن $\left(u_n\right)$ مصغورة بالعدد $1$ فإنها متقاربة

لدينا $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ و$1\le u_n\le \alpha$ و$f$ متصلة على $\left[1,\alpha \right]$ و$f\left(\left[1,\alpha \right]\right)=\left[1,\alpha \right]$

إذن نهاية $\left(u_n\right)$ هي $\mathcal{l}$ بحيث $\mathcal{l}$ هو حل المعادلة $x\in \left[1,\alpha \right] ; f\left(x\right)=x$

$$\begin{gathered} f\left(\mathcal{l}\right)=\mathcal{l} \\ \Rightarrow \mathcal{l}=1 أو \mathcal{l}=\alpha \end{gathered}$$

بما أن $\left(u_n\right)$ تناقصية فإنها مكبورة بحدها الأول أي $u_0=2$

وبالتالي

$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=1}$