Maths 2Bac SM - Semestre 1 Devoir 2 Modèle 2

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Pour $n \geq 1$ , on considère le polynôme : $P_{n} (X) = X^{n} + X^{n - 1} + . . . + X - 1$

Démontrer que $P_{n}$ possède une seule racine dans $ℝ^{+}$ , que l'on note $u_{n}$ .

Démontrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante, et en déduire qu'elle converge.

Soit $ρ \in] \frac{1}{2}; 1 [$ .

soit $g$ la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par : $g (x) = - \frac{1}{x + 1} + \ln (1 + \frac{1}{x})$

Calculer les limites $\lim_{x \to + \infty} g (x)$ et $\lim_{x \to 0^{+}} g (x)$ .

Montrer que $g' (x) = - \frac{- 1}{x {(x + 1)}^{2}}$ , et donner le tableau de variation de $g$ .

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; + \infty [$ par $f (x) = x \ln (1 + \frac{1}{x})$ si $x \neq 0$ et $f (0) = 0$ .

Montrer que $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x)}{x} = + \infty$ , et donner une interprétation géométrique du résultat.

Calculer $f' (x)$ et étudier le sens de variation de $f$ , puis donner le tableau de variation.

Soit ${(u_{n})}_{n > 0}$ une suite telle que $u_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ , et on pose $v_{n} = \ln u_{n}$ .

Vérifier que $v_{n} = f (n)$ , et déduire que ${(u_{n})}_{n > 0}$ est croissante.

Montrer que $(\forall x > 0) \ln (1 + x) < x$ , et déduire que $(\forall n \in ℕ *) u_{n} < e$ , puis calculer $\lim_{n \to + \infty} u_{n}$ .

On pose $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{v_{k}}{k}$ .

Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer $\lim_{n \to + \infty} S_{n}$ et $\lim_{n \to + \infty} \frac{S_{n}}{n}$ .

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