Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 3 Modèle 2

I- Exercice 1

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère la sphère $\left(S\right)$ de centre $\Omega (2,1,2)$ et de rayon $3$ et le plan $\left(P\right)$ passant par le point $A(-1,0,3)$ et dont $\overrightarrow{u}(4,0,-3)$ est un vecteur normal.

1. Montrer qu’une équation de $\left(S\right)$ est $x^2+y^2+z^2-4x-2y-4z=0$.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $\left(P\right)$ est $4x-3z+13=0$.

3. Vérifier que $\left\{\begin{array}{c}x=2+4t\\ y=1\\ z=2-3t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right)$ est une représentation paramétrique de la droite passant par le point $\Omega$ et orthogonale au plan $\left(P\right)$.

4. Déterminer les coordonnées de $H$ point d’intersection de la droite $\left(\Delta \right)$ et du plan $\left(P\right)$.

5. Calculer $d\left(\Omega ,\left(P\right)\right)$.

6. Montrer que le plan $\left(P\right)$ est tangent à la sphère $\left(S\right)$ en un point que l’on déterminera.

II- Exercice 2

Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 1, et 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 2, et 6 boules de couleur verte portant chacune le nombre 2.

On tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne.

On considère les événements suivants :

$A$ : "Obtenir deux boules portant le même nombre ".
$B$ : "Obtenir deux boules de couleurs différentes ".
$C$ : "Obtenir deux boules portant deux nombres dont la somme est égale à 3".

1. Montrer que $p\left(A\right)=\frac{13}{22}$ et $p\left(B\right)=\frac{6}{11}$ et calculer $p\left(C\right)$.

2. Montrer que $p\left(A\cap B\right)=\frac{3}{11}$.

3. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

4. Sachant que l’événement $B$ est réalisé, calculer la probabilité d’obtenir deux boules portant le même nombre.

III- Exercice 3

1. Montrer que la fonction $H : x\mapsto x{e}^x$ est une primitive de la fonction $h : x\mapsto \left(x+1\right)e^x$ sur $\mathrm{ℝ}$.

2. En déduire que ${\int }_0^1\left(x+1\right)e^{x}dx=e$.

3. En utilisant une intégration par parties, calculer ${\int }_0^1\left(x^2+2x-1\right)e^{x}dx$.