Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 2 Modèle 2

I- Exercice 1

Partie 1

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=e^x-x^2+3x-1$

Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction $g$ :

1. Vérifier que $g\left(0\right)=0$.

2. Déterminer le signe de $g\left(x\right)$ sur chacun des intervalles $]-\infty ;0]$ et $[0;+\infty [$.

Partie 2

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=\left(x^2-x\right)e^{-x}+x$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (unité : 1 cm).

1. Vérifier que $f\left(x\right)=\frac{x^2}{e^x}-\frac{x}{e^x}+x$  pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$, puis montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

2. Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-x\right)$, puis en déduire que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet une asymptote $\left(D\right)$ au voisinage de $+\infty$ d’équation $y=x$.

3. Vérifier que $f\left(x\right)=\frac{x^2-x+x{e}^x}{e^x}$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$, puis calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

4. Montrer que $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=-\infty$, et interpréter le résultat géométriquement.

5. Montrer que $f\left(x\right)-x$ et $x^2-x$ ont le même signe pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$.

6. En déduire que $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est au dessus de $\left(D\right)$ sur chacun des intervalles $]-\infty ;0]$ et $[1;+\infty [$, et en dessous de $\left(D\right)$ sur l’intervalle $\left[0;1\right]$.

7. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)e^{-x}$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$.

8. En déduire que la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$.

9. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

10. Vérifier que $f"\left(x\right)=\left(x^2-5x+4\right)e^{-x}$ pour tout $x$ de $\mathrm{ℝ}$.

11. En déduire que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet deux points d’inflexion d’abscisses respectives $1$ et $4$.

12. Construire $\left(D\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ dans le même repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ (on prend : $f\left(4\right)\approx 4.2$)

13. Montrer que la fonction $H: x\mapsto \left(x^2+2x+2\right)e^{-x}$ est une primitive de la fonction $h: x\mapsto -x^2{e}^{-x}$ sur $\mathrm{ℝ}$, puis en déduire que ${\int }_0^1{x}^2{e}^{-x}dx=\frac{2e-5}{e}$.

14. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que ${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx=\frac{e-2}{e}$.

15. Calculer en $c{m}^2$ l’aire du domaine plan limité par $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ et $\left(D\right)$ et les droites d’équations $x=0$ et $x=1$.

Partie 3

Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique définie par : $\left\{\begin{array}{l}{u}_0=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=f\left(u_n\right)\end{array}\right.\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right)$

1. Montrer que $0\le u_n\le 1$ pour tout $n$ de $\mathrm{\mathbb{N}}$ (on pourra utiliser le résultat de la question 8).

2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

3. En déduire que $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

II- Exercice 2

On considère l’équation différentielle suivante : $\left(E\right):y"-2y\text{'}+y=0$

1. Résoudre l’équation $\left(E\right)$.

2. Déterminer la fonction $h$ qui vérifie l’équation $\left(E\right)$ et sa courbe passe par le point $O\left(0;0\right)$ et $h\text{'}\left(0\right)=-1$.

3. Vérifie que la fonction $g\left(x\right)=2-x{e}^x$ vérifie l’équation $\left(E_1\right):y"-2y\text{'}+y=2$.