Mathématiques : 2Bac SPC-SVT-Agro-STE-STM
Semestre 2 Devoir 1 Modèle 2
Professeur : Mr CHEDDADI Haitam
I- Exercice 1
Soit g la fonction numérique définie sur ℝ par : g(x)=1-(x+1)2ex
- Vérifier que g(0)=0.
- A partir de la courbe représentative (Cg) de la la fonction g (figure ci-dessous), montrer que g(x)≥0 pour tout x appartenant à ]-∞;0], et que pour tout x appartenant à [0,+∞[,
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x)=x+1-(x2+1)ex
Soit (Cf) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,→i,→j) (unité : 2cm).
- Vérifier que f(x)=x+1-4(x2ex2)2-ex pour tout x appartenant à ℝ puis en déduire que limx→-∞f(x)=-∞.
- Calculer limx→-∞[f(x)-(x+1)], et en déduire que la droite (D) d’équation y=x+1 est asymptote à la courbe (Cf) au voisinage de -∞.
- Montrer que la courbe (Cf) est en dessous de la droite (D).
- Montrer que limx→+∞f(x)=-∞ (on pourra écrire f(x) sous la forme x[1+1x-(x+1x)ex]).
- Montrer que la courbe (Cf) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique dont on déterminera la direction.
- Montrer que f'(x)=g(x) pour tout x appartenant à ℝ.
- Montrer que la fonction f est croissante sur ]-∞;0], et décroissante sur [0,+∞[, puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur ℝ.
- Montrer que la courbe (Cf) admet deux points d’inflexion d’abscisses -3 et -1.
- Construire dans le même repère (O,→i,→j) la droite (D) et la courbe (Cf) (on prendra f(-3)≈-2,5 et f(-1)≈-0,75).
II- Exercice 2
- Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes ℂ l’équation : z2+4z+8=0
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,→u,→v), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a=-2+2i, b=4-4i et c=4+8i.
Soit z l’affixe d’un point M du plan et z' l’affixe du point M', image de M par la rotation R de centre A et d’angle -π2.
- Montrer que z'=-iz-4.
- Vérifier que le point B est l’image du point C par la rotation R, et en déduire la nature du triangle ABC.
Soit ω l’affixe du point Ω, milieu du segment [BC].
- Montrer que |c-ω|=6.
- Montrer que l’ensemble des points M d’affixe z tels que |z-ω|=6 est le cercle circonscrit au triangle ABC.