Math 2Bac SPC - Semestre 2 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1

Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $g\left(x\right)=1-{\left(x+1\right)}^2{e}^x$

1. Vérifier que $g\left(0\right)=0$.

2. A partir de la courbe représentative $\left({\mathcal{C}}_g\right)$ de la la fonction $g$ (figure ci-dessous), montrer que $g\left(x\right)\ge 0$ pour tout $x$ appartenant à $]-\infty ;0]$, et que  pour tout $x$ appartenant à $[0,+\infty [$,

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=x+1-\left(x^2+1\right)e^x$

Soit $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (unité : 2cm).

3. Vérifier que $f\left(x\right)=x+1-4{\left(\frac{x}{2}{e}^{\frac{x}{2}}\right)}^2-e^x$ pour tout $x$ appartenant à $\mathrm{ℝ}$ puis en déduire que $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

4. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x+1\right)\right]$,  et en déduire que la droite $\left(D\right)$ d’équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ au voisinage de $-\infty$.

5. Montrer que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ est en dessous de la droite $\left(D\right)$.

6. Montrer que $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ (on pourra écrire $f\left(x\right)$ sous la forme $x\left[1+\frac{1}{x}-\left(x+\frac{1}{x}\right)e^x\right]$).

7. Montrer que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet au voisinage de $+\infty$ une branche parabolique dont on déterminera la direction.

8. Montrer que $f\text{'}\left(x\right)=g\left(x\right)$ pour tout $x$ appartenant à $\mathrm{ℝ}$.

9. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ;0]$, et décroissante sur $[0,+\infty [$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathrm{ℝ}$.

10. Montrer que la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ admet deux points d’inflexion d’abscisses $-3$ et $-1$.

11. Construire dans le même repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ la droite $\left(D\right)$ et la courbe $\left({\mathcal{C}}_f\right)$ (on prendra $f\left(-3\right)\approx -2,5$ et $f\left(-1\right)\approx -0,75$).

II- Exercice 2

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes $\mathrm{ℂ}$ l’équation : $z^2+4z+8=0$

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a=-2+2i$, $b=4-4i$ et $c=4+8i$.

Soit $z$ l’affixe d’un point $M$ du plan et $z\text{'}$ l’affixe du point $M\text{'}$, image de $M$ par la rotation $R$ de centre $A$ et d’angle $-\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

2. Montrer que $z\text{'}=-iz-4$.

3. Vérifier que le point $B$ est l’image du point $C$ par la rotation $R$, et en déduire la nature du triangle $ABC$.

Soit $\omega$ l’affixe du point $\Omega$, milieu du segment $\left[BC\right]$.

4. Montrer que $\left|c-\omega \right|=6$.

5. Montrer que l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $\left|z-\omega \right|=6$ est le cercle circonscrit au triangle $ABC$.