Math TC - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1 (6 pts)

Soit $n$ un entier naturel.

1. Étudier la parité des nombres suivants :

$$\begin{gathered} A=4n^2+2n+3 \\ B=2^{2021}+3^{2022} \\ C=5^n+1 \end{gathered}$$

Soit $n$ un entier naturel .

2. Montrer que le nombre $3^{n+2}+3^n$ est multiple de $5$.

3. Donner tous les diviseurs positifs non premier du nombre $102$.

4. Décomposer en produit de facteurs premiers le nombre $7752$.

5. Déterminer tous les entiers naturels $x$ et $y$ tels que $\left(x-2\right)\left(y-5\right)=22$.

6. Le nombre $323$ est-il premier ? Justifier.

II- Exercice 2 (5 pts)

On pose : $a=2^2\times 3\times 7+2^5\times 3$ et $b=168$

1. Sans calcul, déterminer la parité de $a$.

2. Montrer que $a=2^2\times 3^2\times 5$ et $b=2^3\times 3\times 7$.

3. Calculer $PGCD\left(a,b\right)$ et $PPCM\left(a,b\right)$.

4. Simplifier $\frac{a}{b}$ et $\sqrt{ab}$.

5. Montrer que $5a$ est un carré parfait.

III- Exercice 3 (7,5 pts)

Soit $ABC$ un triangle, et $I$, $J$ et $K$ trois points du plan tels que :

$\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}$

1. Construire la figure.

2. Montrer que $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{JK}=\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

3. Montrer que $3\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{KJ}=\overrightarrow{0}$.

4. En déduire que les points $I$, $J$ et $K$ sont alignés.

On considère le point $H$ tel que $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{AJ}$.

5. Placer le point $H$ sur la figure.

6. Déterminer la nature du quadrilatère $ABHC$.

7. En déduire que les deux droites $\left(BH\right)$ et $\left(AK\right)$ sont parallèles.

IV- Exercice 4 (1,5 pts)

Soit $n$ un entier naturel.

On pose : $A=4n^2+12n+9$

1. Montrer que : $n^2+3n+2=\left(n+1\right)\left(n+2\right)$

2. Montrer que $A-1$ est multiple de $8$.