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Mathématiques : 1Bac S.Exp – STE – STM

Semestre 1 Devoir 3 Modèle 2

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

I- Exercice 1 (4 pts)

 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O;→i;→j), on considère les points A(2;0) et B(1;√3).

  1. Calculer le produit scalaire →AO.→AB et les distances AO et AB.
  1. Calculer cos¯(→AO;→AB) et sin¯(→AO;→AB).
  1. Déterminer la mesure principale de l’angle orienté (→AO;→AB).
  1. En déduire la nature du triangle ABC.

 

II- Exercice 2 (10 pts)

 

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O;→i;→j), on considère les points A(-1;2) et B(3;-4).

Soit (C) l’ensemble des points M du plan qui vérifient : →AM.→BM=-4

  1. Montrer que x2+y2-2x+2y-7=0 est une équation cartésienne de l’ensemble (C).
  1. Montrer que (C) est un cercle de centre Ω(1;-1) et de rayon R=3.
  1. Vérifier que le point K(1;2) appartient au cercle (C).
  1. Donner une équation cartésienne de la droite (D) la tangente au cercle (C) en K.
  1. Montrer que la droite (Δ) d’équation x+y+3=0 coupe le cercle (C) en deux points.
  1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la droite (Δ) et le cercle (C).
  1. Résoudre graphiquement le système :

{x2+y2-2x+2y-7<0x+y+3>0

  1. Vérifier que le point H(1;4) est situé à l’extérieur du cercle (C).
  1. Donner les équations des tangentes au cercle (C) et qui passe par le point H(1;4).

 

III- Exercice 3 (6 pts)

 

Soit  la suite numérique définie par u0=2 et (∀n∈ℕ): .

  1. Calculer les termes u1 et u2.
  1. Montrer que : ∀n∈ℕ: un>1
  1. Montrer que la suite unn∈ℕ est décroissante.
  1. En déduire que la suite unn∈ℕ est bornée.
  1. Montrer que : ∀n∈ℕ: un+1-1≤13un-1
  1. En déduire que : ∀n∈ℕ: 0<un-1≤13n

 

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