Math 1Bac S.Exp - Semestre 1 Devoir 1 Modèle 2

I- Exercice 1 (4 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f\left(x\right)=\frac{x^2-3}{2x^2+1}$

1. Déterminer $D_f$ l’ensemble de définition de $f$.

2. Montrer que $f$ est majorée par le nombre $\frac{1}{2}$  sur $D_f$.

3. Est-ce que $\frac{1}{2}$ est une valeur maximale de $f$ sur $D_f$ ?

4. Montrer que $f$ est minorée par le nombre $-3$ sur $D_f$.

5. Est-ce que $-3$ est une valeur minimale de $f$ sur $D_f$ ?

II- Exercice 2 (3 pts)

1. Donner la négation et étudier la valeur de vérité des propositions suivantes :

$$\begin{gathered} P : \left(\sqrt{2}<14 et \sqrt{3+2\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}\right) \\ Q : \left(17 est premier ou \frac{7^{2022}+1}{2}\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \\ R : \left(\exists x\in \mathrm{ℝ}\right) \sqrt{x^2+5}=3 \\ S : \left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) x^2+5x-6\ne 0 \\ T : \left(\forall x\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 6 divise x\Rightarrow 2 divise x \end{gathered}$$

III- Exercice 3 (8 pts – Questions indépendantes)

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $f$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x-1} \\ \overline{)2} f\left(x\right)=\frac{x+3}{\sqrt{x^2+x-2}} \end{gathered}$$

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\ne \frac{b}{2}$

2. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer que : $b\ne \frac{1}{8}\Rightarrow \frac{a+2b}{2a-b}\ne \frac{2}{3}$

3. En utilisant le raisonnement par équivalences successives, montrer que : $\left(\forall x\in ]1;+\infty [\right) \frac{x+1}{\sqrt{2x-2}}>1$

4. Montrer par récurrence que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 15 divise 4^{2n+1}-4$

5. Montrer par récurrence que : $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) 1+6+6^2+....+6^n=\frac{1}{5}\left(6^{n+1}-1\right)$

IV- Exercice 4 (5 pts)

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par : $f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+1}$

1. Étudier la parité de $f$.

2. Montrer que pour tous $a$ et $b$ de $\mathrm{ℝ}$ tels que $a\ne b$, on a : $\frac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{a-b}=\frac{2\left(a+b\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}$

3. Étudier la monotonie de $f$ sur $[0;+\infty [$.

4. En déduire la monotonie de $f$ sur $]-\infty ;0]$.

5. Dresser le tableau de variations de $f$.