Math 3AC - Semestre 1 Devoir 3 Modèle 2

Exercice 1 (4 pts)

Soit $O$ le centre du cercle.

$A$, $B$, $N$ et $M$ sont des points du cercle tel que $\widehat{AMB}=45°$.

1. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{ANB}$. Justifier votre réponse.

2. Déterminer la mesure de l’angle $\widehat{AOB}$. Justifier votre réponse.

3. Déduire que le triangle $AOB$ est rectangle isocèle.

Exercice 2 (4 pts)

Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$, et $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\left(BC\right)$ :

1. Montrer que les triangles $AHC$ et $ABC$ sont semblables.

2. En déduire que : $A{C}^2=CH\times CB$

3. En déduire que : $AB\times AC=AH\times BC$

Exercice 3 (8 pts)

Soit $\alpha$ la mesure d'un angle aigu tel que $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{4}$.

1. Calculer $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$.

2. Montrer que ${\left(\cos \alpha +\sin \alpha \right)}^2-2{\cos }^2\alpha \times \tan \alpha =1$.

3. Simplifier l'expression :

$E=3{\sin }^2\alpha -2\left(1-{\cos }^2\alpha \right)+{\cos }^2\alpha$

4. Calculer :

$$\begin{gathered} F={\sin }^{2}25°+\cos 44°+{\sin }^{2}65°-\sin 46° \\ G={\sin }^{2}53°+\frac{1}{\tan 20°}+{\sin }^{2}37°-\tan 70° \\ H={\cos }^{2}21°-\frac{\sin 16°}{\cos 74°}+\cos 69° \end{gathered}$$

Exercice 4 (4 pts)

$ABC$ est un triangle rectangle en $A$ tel que $AC=2$ et $\sin \widehat{ABC}=\frac{1}{4}$.

1. Calculer $AB$ et $BC$.

2. Calculer $\cos \widehat{ABC}$ et $\tan \widehat{ABC}$.

$H$ est la projection orthogonale $A$ de sur $\left(BC\right)$.

3. Calculer $AH$ et $CH$.