Séance 12 - Géométrie analytique de l’espace

Sommaire

I- Coordonnées d’un point

1-1/ Base et repère de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

1-2/ Coordonnées d’un point par rapport un repère – Coordonnées d’un vecteur par rapport une base

1-3/ Coordonnées des vecteurs  $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, $\alpha \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$

II- Deux vecteurs colinéaires - Trois vecteurs coplanaires

2-1/ Conditions de colinéarité de deux vecteurs

2-2/ Conditions de coplanarité de trois vecteurs

III- Représentation paramétrique d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

IV- Positions relatives de deux droites dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-1/ Représentation paramétrique d’un plan

5-2/ Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-3/ Positions relatives de deux plans

VI- Système de deux équations cartésiennes d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

6-1/ Système de deux équations cartésiennes d’une droite

6-2/ Positions relatives d’une droite et un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

7-5/ Exercice 5

7-6/ Exercice 6

I- Coordonnées d’un point

1-1/ Base et repère de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Vocabulaire

Le triplet $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ s’appelle base de l’espace .

On dit que l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ est muni (ou rapporté) de la base $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Le quadruplet $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ s’appelle repère de l’espace.

On dit que l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ est muni (ou rapporté au) du repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

I- Coordonnées d’un point

1-2/ Coordonnées d’un point par rapport un repère – Coordonnées d’un vecteur par rapport une base

Définition

Pour tout point $M$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ muni du repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, il existe un et un seul triplet $\left(x,y,z\right)\in {\mathrm{ℝ}}^3$ tel que : $OM=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$

Le triplet $\left(x,y,z\right)$ s’appelle les coordonnées du point $M$ par rapport au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

On note : $M\left(x,y,z\right)$ ou $M\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

Le triplet $\left(x,y,z\right)$ s’appelle aussi les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OM}$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ par rapport au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ (ou encore par rapport à la base $\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$).

On note : $\overrightarrow{OM}\left(x,y,z\right)$ ou $\overrightarrow{OM}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$

Le nombre réel $x$ s’appelle l’abscisse du point $M$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ par rapport au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Le nombre réel $y$ s’appelle l’ordonné du point $M$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ par rapport au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Le nombre réel $z$ s’appelle la cote du point $M$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ par rapport au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

I- Coordonnées d’un point

1-3/ Coordonnées des vecteurs  $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$, $\alpha \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AB}$

Propriété

Soient $\overrightarrow{u}\left(x,y,z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ deux vecteurs et $A(a,b,c)$ et $B(a\text{'},b\text{'},c\text{'})$ deux points de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, et $I$ le milieu du segment $\left[AB\right]$ et $\alpha \in \mathrm{ℝ}$.

On a :

1) $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\left(x+x\text{'},y+y\text{'},z+z\text{'}\right)$ et $\alpha \overrightarrow{u}\left(\alpha x,\alpha y,\alpha z\right)$

2) $\overrightarrow{AB}\left(a\text{'}-a,b\text{'}-b,c\text{'}-c\right)$

3) $I\left(\frac{a+a\text{'}}{2},\frac{b+b\text{'}}{2},\frac{c+c\text{'}}{2}\right)$

II- Deux vecteurs colinéaires - Trois vecteurs coplanaires

2-1/ Conditions de colinéarité de deux vecteurs

Propriété (Rappel)

Soient $\overrightarrow{u}\left(x,y,z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ deux vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires équivaut à il existe $\alpha \in \mathrm{ℝ}$ de tel que $\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{v}$.

II- Deux vecteurs colinéaires - Trois vecteurs coplanaires

2-1/ Conditions de colinéarité de deux vecteurs

Déterminants extraites de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$

Soient $\overrightarrow{u}\left(x,y,z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ deux vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Les déterminants suivants :

${\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}y& y\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right| ; {\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ z& z\text{'}\end{array}\right| ; {\Delta }_z=\left|\begin{array}{cc}x& x\text{'}\\ y& y\text{'}\end{array}\right|$

s’appellent les déterminants extraites de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires équivaut à ${\Delta }_x={\Delta }_y={\Delta }_z=0$ (les déterminants extraites de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont tous nuls).

II- Deux vecteurs colinéaires - Trois vecteurs coplanaires

2-2/ Condition de coplanarité de trois vecteurs

Déterminant de trois vecteurs de l’espace

Soient $\overrightarrow{u}\left(x,y,z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(x",y",z"\right)$ trois vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Le nombre :

$$\begin{gathered} det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left|\begin{array}{ccc}x& x\text{'}& x"\\ y& y\text{'}& y"\\ z& z\text{'}& z"\end{array}\right|=x\left|\begin{array}{cc}y\text{'}& y"\\ z\text{'}& z"\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x"\\ z\text{'}& z"\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}x\text{'}& x"\\ y\text{'}& y"\end{array}\right| \\ det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=\left(xy\text{'}z"-xz\text{'}y"\right)+\left(-yx\text{'}z"+yz\text{'}x"\right)+\left(zx\text{'}y"-zy\text{'}x"\right) \end{gathered}$$

est appelé déterminant des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ dans cet ordre.

II- Deux vecteurs colinéaires - Trois vecteurs coplanaires

2-2/ Condition de coplanarité de trois vecteurs

Propriété

Soient $\overrightarrow{u}\left(x,y,z\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(x\text{'},y\text{'},z\text{'}\right)$ et $\overrightarrow{w}\left(x",y",z"\right)$ trois vecteurs de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement si $det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=0$.

III- Représentation paramétrique d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Définition

Le système $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=x_0+t\\ y=y_0+t\end{array}\\ z=z_0+t\end{array}\right., t\in \mathrm{ℝ}$ s’appelle représentation paramétrique de la droite $D\left(A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right),\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\right)$

Remarques

Pour chaque valeur du paramètre $t$ on obtient un point et un seul, et la réciproque est vraie.

Par exemple : la valeur $t=0$ donne le point $A\left(x_0,y_0,z_0\right)$.

La représentation paramétrique de la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ n’est pas unique, on peut remplacer $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ par $\left(x_1,y_1,z_1\right)$ coordonnées du point $B$ à condition que $B\in D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$.

IV- Positions relatives de deux droites dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Activité

On considère dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ les droites $\left(AB\right)$ et $\left(EH\right)$ et $\left(IJ\right)$ et $\left(BG\right)$.

• Déduire les différentes positions relatives distinctes entre deux droites :

IV- Positions relatives de deux droites dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Propriété

$D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ et $D\text{'}\left(B,\overrightarrow{v}\right)$ sont deux droites de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

1) $\left(D\right)=\left(D\text{'}\right)\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaire et les deux droites ont un point commun).

2) $\left(D\right)$ et $\left(D\text{'}\right)$ sont strictement parallèles $\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaire et les deux droites n’ont pas un point commun).

3) $\left(D\right)\cap \left(D\text{'}\right)=\left\{I\right\}\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et le point I est commun aux deux droites).

4) $\left(D\right)$ et $\left(D\text{'}\right)$ sont deux droites non coplanaires $\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires et les deux droites n’ont pas des points communs) $\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AB}$ ne sont pas coplanaires)$\iff det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{AB}\right)=0$.

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-1/ Représentation paramétrique d’un plan

Définition

Le système $\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=x_0+\alpha a+\beta a\text{'}\\ y=y_0+\alpha b+\beta b\text{'}\end{array}\\ z=z_0+\alpha c+\beta c\text{'}\end{array}\right.; \alpha ,\beta \in {\mathrm{ℝ}}^2$ s’appelle représentation paramétrique du plan $P\left(A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right),\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right),\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}a\text{'}\\ b\text{'}\\ c\text{'}\end{array}\right)\right)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$.

Remarques

Pour chaque valeur du paramètre $\alpha$ et du paramètre $\beta$ on obtient un point et un seul, et la réciproque est vraie.

La représentation paramétrique du plan $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ n’est pas unique, on peut remplacer $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ par $\left(x_1,y_1,z_1\right)$ coordonnées du point $B$ à condition que $B\in P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-2/ Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Définition et propriété

Soit $P\left(A\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right),\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}a\text{'}\\ b\text{'}\\ c\text{'}\end{array}\right),\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}a"\\ b"\\ c"\end{array}\right)\right)$ un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

Le plan $\left(P\right)$ est l’ensemble des points $M(x,y,z)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ qui vérifie l’équation :

$\left(x-x_0\right){\Delta }_x+\left(y-y_0\right){\Delta }_y+\left(z-z_0\right){\Delta }_z=0$

avec $a={\Delta }_x$ et $b={\Delta }_y$ et $c={\Delta }_z$ sont les déterminants extraites de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

L’équation $\left(x-x_0\right){\Delta }_x+\left(y-y_0\right){\Delta }_y+\left(z-z_0\right){\Delta }_z=0$ s’appelle équation cartésienne du plan $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

En générale l’équation s’écrit $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) : ax+by+cz+d=0$, avec $a={\Delta }_x$ et $b={\Delta }_y$ et $c={\Delta }_z$ et $d=-x_0{\Delta }_x+y_0{\Delta }_y-z_0{\Delta }_z$ sont des réels et $\left(a,b,c\right)\ne \left(0,0,0\right)$ (au moins un nombre est non nul).

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-2/ Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Application

On donne l'équation cartésienne du plan $P\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.

Méthode 1 :

$$\begin{gathered} M\left(x,y,z\right)\in P\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) \\ \iff det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)=0 \\ \iff \left|\begin{array}{ccc}x& 1& 0\\ y& 0& 1\\ z& 0& 0\end{array}\right|=0 \\ \iff x\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=0 \\ \iff z=0 \end{gathered}$$

Méthode 2 :

$$\begin{gathered} \left(P\right) : ax+by+cz+d=0 \\ \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}a={\Delta }_x=\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right|=0\\ b={\Delta }_y=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0\end{array}\\ c={\Delta }_z=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\end{array}\right.\Rightarrow P : z+d=0 \\ O\left(0,0,0\right)\in \left(P\right)\Rightarrow 0+d=0\Rightarrow d=0 \\ \Rightarrow \left(P\right) : z=0 \end{gathered}$$

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-3/ Positions relatives de deux plans

Activité

On considère dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ les droites $\left(P\right)$ et $\left(P_1\right)$ et $\left(Q\right)$ et $\left(ABC\right)$

Déduire les différentes positions relatives distinctes entre deux plans :

V- Représentation paramétrique d’un plan – Équation cartésienne d’un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

5-3/ Positions relatives de deux plans

Propriété

$\left(P\right):ax+by+cz+d=0$ et $\left(P\text{'}\right):a\text{'}x+b\text{'}y+c\text{'}z+d\text{'}=0$ sont deux plans del’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

1) Les 2 plans sont confondues :

$$\begin{gathered} \left(P\right)=\left(P\text{'}\right)\iff a\text{'}=ka et b\text{'}=kb et c\text{'}=kc et d\text{'}=kd et k\ne 0 \\ \left(P\right)=\left(P\text{'}\right)\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}}=\frac{d}{d\text{'}} \end{gathered}$$

2) Les 2 plans sont strictement parallèles :

$$\begin{gathered} \left(P\right)\cap \left(P\text{'}\right)=\varnothing \iff a\text{'}=ka et b\text{'}=kb et c\text{'}=kc et d\text{'}\ne kd et k\ne 0 \\ \left(P\right)=\left(P\text{'}\right)\iff \frac{a}{a\text{'}}=\frac{b}{b\text{'}}=\frac{c}{c\text{'}} et d\text{'}\ne kd \end{gathered}$$

3) Les 2 plans sont sécants suivant une droite :

$\left(P\right)\cap \left(P\text{'}\right)=\left(D\right)\iff \overrightarrow{u}\left(a,b,c\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(a\text{'},b\text{'},c\text{'}\right)$ ne sont pas colinéaires

$\left(P\right)\cap \left(P\text{'}\right)=\left(D\right)\iff$au moins deux des rapports suivants $\frac{a}{a\text{'}}$ et $\frac{b}{b\text{'}}$ et $\frac{c}{c\text{'}}$ ne soient pas égaux.

4) $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ et $P\text{'}\left(B,\overrightarrow{u\text{'}},\overrightarrow{v\text{'}}\right)$ sont deux plans sécants$\iff$($\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{u\text{'}}$ sont coplanaires, et aussi les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{v\text{'}}$)$\iff \left(det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{u\text{'}}\right)=0 et det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{v\text{'}}\right)=0\right)$.

VI- Système de deux équations cartésiennes d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

6-1/ Système de deux équations cartésiennes d’une droite

Propriété et définition

Dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$, on considère la droite $D\left(A\left(x_0,y_0,z_0\right),\overrightarrow{u}\left(a,b,c\right)\right)$.

Un point $M(x,y,z)$ de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ appartient à la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$ si et seulement si on a :

- 1er cas : on suppose que les nombres $a$ et $b$ et $c$ sont non nuls :

 $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ s’appelle système de deux équations cartésiennes de la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$.

- 2ème cas : on suppose qu’un nombre seul parmi les nombres $a$ et $b$ et $c$ est nul ( on suppose que $a=0$)

$x-x_0=0 et \frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$ s’appelle système de deux équations cartésiennes de la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$.

- 3ème cas : on suppose que juste deux nombres parmi les nombres $a$ et $b$ et $c$ sont nuls ( on suppose que $a=0$ et $c=0$)

$x-x_0=0 et z-z_0=0$ s’appelle système de deux équations cartésiennes de la droite $D\left(A,\overrightarrow{u}\right)$.

VI- Système de deux équations cartésiennes d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

6-2/ Positions relatives d’une droite et un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Activité

On considère dans l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$ une droite $\left(D\right)$ et un plan $\left(P\right)$.

• Déduire les différentes positions relatives distinctes entre le plan et la droite :

VI- Système de deux équations cartésiennes d’une droite de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

6-2/ Positions relatives d’une droite et un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$

Propriété

Soient $D\left(B,\overrightarrow{w}\right)$ une droite et $P\left(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ un plan de l’espace $\left(\mathcal{E}\right)$ rapporté au repère $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)$.

1) La droite $\left(D\right)$ est inclue dans le plan $\left(P\right)\iff$(les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires et $B\in \left(P\right)$)$\iff \left(det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=0 et B\in \left(P\right)\right)$

2) Le droite $\left(D\right)$ est strictement parallèle u plan $\left(P\right)\iff$(les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires et $B\notin \left(P\right)$)$\iff \left(det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)=0 et B\notin \left(P\right)\right)$.

3) La droite $\left(D\right)$ coupe le plan $\left(P\right)$ au point $A\iff$(les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas coplanaires)$\iff \left(det\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\ne 0\right)$.

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(2;1;4)$, $\overrightarrow{v}(1;-1;1)$ et $\overrightarrow{w}(1;2;3)$.

1. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont  coplanaires.

On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}(1+m;1;2m-1)$, $\overrightarrow{v}(1;-1;1)$ et $\overrightarrow{w}(1;2;3)$.

2. Déterminer m pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ soient coplanaires.

VII- Exercices

7-2/ Exercice 2

On considère les points $A(1;2;-1)$, $B(-1;3;1)$, $C(5;0;-5)$ et $E(1;3;0)$.

Soit $M(x;y;z)$ un point de l’espace.

1. Montrer que si $M\in \left(AB\right)$, alors $\left(\exists t\in \mathrm{ℝ}\right)$ tel que le système $\left(S\right) : \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1-2t\\ y=2+t\end{array}\\ z=-1+2t\end{array}\right.$ est une représentation paramétrique de la droite $\left(AB\right)$.

2. Montrer que $C\in \left(AB\right)$.

3. Le point $E$ appartient-il à la droite $\left(AB\right)$ ?

VII- Exercices

7-3/ Exercice 3

1. Déterminer deux équations cartésiennes de la droite $\left(D\right)$ passant par le point $A\left(-1;-2;\frac{1}{3}\right)$ et dirigée par le vecteur $\overrightarrow{u}\left(-2;\frac{1}{2};1\right)$.

Soit$\left(\Delta \right)$  une droite définie par ses deux équations cartésiennes suivantes :

$\frac{2x-1}{3}=\frac{3y-2}{-2}=\frac{z-1}{2}$

2. Déterminer un vecteur directeur de la droite $\left(\Delta \right)$ et un point de $\left(\Delta \right)$.

3. Déduire une représentation paramétrique de la droite $\left(\Delta \right)$.

VII- Exercices

7-4/ Exercice 4

On considère les points $A(1;2;3)$, $B(-1;3;1)$ et $C(3;3;-1)$.

1. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Soit $M(x;y;z)$ un point de l’espace.

2. Montrer que $M\in \left(ABC\right)\iff \left(\exists \left(t;t\text{'}\right)\in {\mathrm{ℝ}}^2\right) : \left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1-2t+2t\text{'}\\ y=2+t+t\text{'}\end{array}\\ z=3-2t+4t\text{'}\end{array}\right.$ le système  est une représentation paramétrique du plan $\left(ABC\right)$.

3. En déduire que $M(x;y;z)\in \left(ABC\right)\iff x+6y-2z-7=0$.

VII- Exercices

7-5/ Exercice 5

1. Étudier les positions relatives de la droite $\left(D\right)$ et la droite $\left(\Delta \right)$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left(D\right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=-2+t\\ y=2-2t\end{array}\\ z=4+t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=-1-t\text{'}\\ y=2t\text{'}\end{array}\\ z=1+t\text{'}\end{array}\right.\left(t\text{'}\in \mathrm{ℝ}\right) \\ \overline{)2} \left(D\right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-2-2t\end{array}\\ z=2+3t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=2t\text{'}\\ y=1-t\text{'}\end{array}\\ z=3+t\text{'}\end{array}\right.\left(t\text{'}\in \mathrm{ℝ}\right) \\ \overline{)3} \left(D\right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=1+t\\ y=-2\end{array}\\ z=2-t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(\Delta \right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=2t\text{'}\\ y=1\end{array}\\ z=3-2t\text{'}\end{array}\right.\left(t\text{'}\in \mathrm{ℝ}\right) \end{gathered}$$

VII- Exercices

7-6/ Exercice 6

1. Étudier la position relative de la droite $\left(D\right)$ et le plan $\left(P\right)$ dans les cas suivants :

$$\begin{gathered} \overline{)1} \left(D\right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=2-4t\\ y=-1+2t\end{array}\\ z=3t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(P\right) : 3x+2y+z+1=0 \\ \overline{)2} \left(D\right):\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}x=-4+5t\\ y=-1-2t\end{array}\\ z=-3+t\end{array}\right.\left(t\in \mathrm{ℝ}\right) et \left(P\right) : x+3y+z+4=0 \end{gathered}$$