Mathématiques : Tronc Commun

Séance 14 (Géométrie dans l'espace)

 

 

Professeur : Mr ETTOUHAMY Abdelhak

 

Sommaire

 

I- Les axiomes de l’espace

II- Détermination d’un plan

III- Positions relatives dans l’espace

3-1/ Positions relatives de deux droites

3-2/ Positions relatives d’une droite et d’un plan

3-3/ Positions relatives de deux plans

IV- Parallélisme dans l’espace

4-1/ Parallélisme de deux droites

4-2/ Parallélisme d’une droite et un plan

4-3/ Parallélisme de deux plans

V- Orthogonalité dans l’espace

5-1/ Orthogonalité de deux droites

5-2/ Orthogonalité d’une droite et un plan

5-3/ Orthogonalité de deux plans

VI- Surfaces et volumes de certains solides

VII- Exercices

7-1/ Exercice 1

7-2/ Exercice 2

7-3/ Exercice 3

7-4/ Exercice 4

 


I- Les axiomes de l’espace

 

Axiome 1

Par deux points distincts A et B de l’espace E passe une et une seule droite notée AB.

Axiome 2

Par trois points non alignés de l’espace E passe un plan et un seul noté ABC.

Axiome 3

Si A et B sont deux points distincts d’un plan (P) de l’espace E, alors la droite AB est incluse dans le plan P.

Axiome 4

P et P' sont deux plans distincts de l’espace E.

Si un point A est commun aux deux plans, alors les deux plans se coupent suivant une droite passant par le point A.

 

II- Détermination d’un plan

 

Toutes les propriétés de la géométrie plane reste valables à chaque plan P de l’espace E.

Un plan P est déterminé soit par :

  1. Une droite D et un point qui n’appartienne pas à cette droite AD.
  2. Trois points A et B et C non alignés de l’espace E.
  3. Deux droites D et D' sécantes de l’espace E.
  4. Deux droites D et D' strictement parallèles de l’espace E.

 

III- Positions relatives dans l’espace

 

3-1/ Positions relatives de deux droites

Cas 1 : D et D' sont sécantes au point I : DD'=I

Cas 2 : D et D' sont parallèles : D//D'

Cas 3 : D et D' sont non coplanaires : DD'=

 

 

3-2/ Positions relatives d’une droite et d’un plan

Cas 1 : D est incluse dans le plan P : DP

DP=D

Cas 2 : D et P sont strictement parallèles : D//P

DP=

Cas 3 : D coupe le plan P au point I

DP=I

 

 

3-3/ Positions relatives de deux plans

Cas 1 : P et P' sont confondus : P=P'

PP'=P

Cas 2 : P et P' sont strictement parallèles : P//P'

PP'=

Cas 3 :P et P' sont sécants suivant une droite D

PP'=D

 

IV- Parallélisme dans l’espace

 

4-1/ Parallélisme de deux droites

Définition

Deux droites D et D' de l’espace sont parallèles si et seulement si :

  • D et D' sont coplanaires disjointes.

Ou

  • D et D' sont confondues.

On note D//D'

 

 

Propriétés

1- D’un point O de l’espace passe une et une seule droite Δ parallèle a une droite D donnée de l’espace.

2- Soient D, D' et Δ trois droites de l’espace E.

- Si D et D' sont parallèles et une droite Δ est parallèle à l’une des deux droites, alors Δ est parallèle à l’autre droite :

D//D'Δ//DΔ//D'

- Si une droite Δ est parallèle à chacune des droites D et D', alors D et D' sont parallèles :

Δ//D'Δ//DD//D'

 

 

4-2/ Parallélisme d’une droite et un plan

Définition

Une droite D est parallèle à un plan P si et seulement si :

  • La droite D est un incluse dans le plan P : DP

Ou

  • D et P sont disjoints : DP'=

 

 

Propriété

Une droite D est parallèle à un plan P si et seulement si : il existe une droite D' incluse dans le plan P tel que D et D' sont parallèles.

 

 

4-3/ Parallélisme de deux plans

Définition

Deux plans P et P' sont parallèles si et seulement si :

  • P et P' sont confondus : P=P'

Ou

  • P et P' sont disjoints : PP'=

 

 

Propriétés

1- D’un point O de l’espace passe un et un seul plan P' parallèle a un plan P donné de l’espace.

2- Si deux plans P et P' sont parallèles, alors tout plan Q parallèle à l’un des deux plans est parallèle à l’autre plan.

3- Si un plan Q est parallèle à chacun des plans P et P', alors les deux plans P et P' sont parallèles.

4- Deux plans P et P' sont parallèles si et seulement si l’un d’eux contient deux droites sécantes D et D' parallèles au deuxième plan :

 

 

Propriétés

1- Si deux plansP et P' sont parallèles, alors toute droite D  qui coupe l’un des deux plans coupe l’autre plan :

2- Si deux plans P et P' sont parallèles, alors tout plan Q qui coupe l’un des deux plans suivant une droite Δ  coupe l’autre plan suivant une droite Δ' et les droites sont parallèles :

3- Si une droite D est strictement parallèle à deux plans sécants P et P' suivant une droite Δ, alors les deux droites D et Δ sont parallèles :

 

V- Orthogonalité dans l’espace

 

5-1/ Orthogonalité de deux droites

Définition

D et Δ deux droites sont orthogonales si et seulement si deux droites D' et Δ' sont sécantes à un point A de l’espace et orthogonales tel que D//D' et Δ//Δ'.

On note : ΔD.

 

 

Propriétés

Si deux droites D et D' sont orthogonales, alors toute droite Δ parallèle à l’une de ces deux droites est orthogonale à l’autre droite.

Si deux droites D et D' sont parallèles, alors toute droite Δ orthogonale à l’une des deux droites est orthogonale à l’autre droite.

 

 

5-2/ Orthogonalité d’une droite et un plan

Définition

Une droite D est orthogonale à un plan P de l’espace si et seulement si la droite D est orthogonale à toute droite Δ du plan P.

On note : DP, et on lit : D est orthogonale au plan P.

 

 

Propriétés

1- Une droite D est orthogonale à un plan P de l’espace si et seulement si la droite D est orthogonale à deux droites sécantes du plan P.

2- Si deux droites D et D' sont parallèles, alors tout plan P orthogonal à l’une de ces deux droites est orthogonal à l’autre droite.

3- Si deux plans P et P' sont parallèles, alors toute droite D orthogonale à l’un des deux plans est orthogonale à l’autre plan.

 

 

5-3/ Orthogonalité de deux plans

Définition

Deux plans P et P' de l’espace E sont orthogonaux si et seulement si l’un des deux plans contient une droite D orthogonale à l’autre plan.

On note : PP'

 

 

Propriétés

1- Si deux plans P et P' de l’espace E sont orthogonaux à une même droite, alors les plans sont parallèles.

2- Si deux plans P et P' de l’espace E sont parallèles :

  • Si un plan Q est orthogonal à l’un des deux plans, alors Q est orthogonal à l’autre.
  • Si une droite D est orthogonale à l’un des deux plans, alors D est orthogonale à l’autre.

3- Pour tout plan Q orthogonal à deux plans sécants P et P' suivant une droite D, on a : DQ.

 

VI- Surfaces et volumes de certains solides

 

Cube
Parallélépipède rectangle

Aire (surface) latérale : SL=4a2

Aire (surface) totale : ST=6a2

Volume : V=a3

Aire (surface) latérale : SL=2L+l×h

Aire (surface) totale : ST=SL+2L×l

Volume : V=L×l×h

   
Cylindre droit
Cône de révolution

Aire (surface) latérale : SL=2π×R×h

Volume : V=π×R2×h
Volume : V=13π×R2×h
   
Pyramide
Prisme droit

Surface de la base : SH

Volume : V=13SH×h

Périmètre de la base : PB

Surface de la base : SB

Aire (surface) latérale : SL=PB×h

Volume : V=SB×h

Sphère

Rayon : R

Volume : V=43π×R3

 

VII- Exercices

 

7-1/ Exercice 1

Dans un tétraèdre ABCDI est un point de l’arête [AB] et J est un point de l’arête [CD].

Le but de l’exercice est de trouver l’intersection des plans (AJB) et (CID).

  1. Prouver que chacun des points I et J appartient à la fois aux plans (AJB) et (CID).
  1. Quelle est alors l’intersection de ces deux plans.

 

 

7-2/ Exercice 2

On considère un cube ABCDEFGH, I est un point de l’arête [AB] et J est un point de l’arête [CG].

  1. Montrer que les points I et J appartiennent à la fois aux plans (ABJ) et (CGI).
  1. Quelle est l’intersection des plans (ABJ) et (CGI) ?

 

 

7-3/ Exercice 3

ABCD est un tétraèdre, I est un point de l’arête [BC] et J un point de l’arête [CD].

N est un point du segment [AJ] et M un point de la demi-droite [AI) extérieur au segment [AI].

  1. Quelle est l’intersection des plans (AIJ) et (BCD) ?
  1. Démontrer que les points M, N, I et J sont dans un même plan.

On note P le point d’intersection de la droite (MN) et du plan (BCD).

  1. Prouver que P est sur (IJ).

 

 

7-4/ Exercice 4

ABCDEFGH est un cube, I est le milieu de [AB].

On se propose de représenter la droite Δ d’intersection des plans DIF et (EFG).

  1. Pourquoi F appartient-il à Δ ?
  1. Quelle est l’intersection des plans DIF et (ABC) ?
  1. Que sait-on sur les plans (ABC)  et (EFG) ? En déduire la droite Δ.