Math 2Bac SMA-SMB - Examen National 2021 Session Normale

Exercice 1 : Analyse (12 pts)

Pour tout entier naturel $n$, on considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathrm{ℝ}$ par :

$f_n\left(x\right)=\frac{-2e^x}{1+e^x}+nx$

Soit $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ (On prendra $||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=1cm$).

Partie 1

1. a- Calculer $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-nx+2\right)$, puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.

1. b- Montrer que la courbe $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ admet en $-\infty$ une asymptote $\left({\Delta }_n\right)$ dont on déterminera une équation cartésienne.

2. a- Montrer que la fonction $f_n$ est dérivable sur $\mathrm{ℝ}$ et que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) f_n\text{'}\left(x\right)=\frac{-2e^x}{{\left(1+e^x\right)}^2}+n$.

2. b- Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) f_n\text{'}\left(x\right)=\frac{4e^x}{{\left(1+e^x\right)}^2}\le 1$.

2. c- En déduire le sens de variation de la fonction $f_n$ sur $\mathrm{ℝ}$ (On distinguera les deux cas $n=0$ et $n\ge 1$).

3. a- Déterminer l’équation de la tangente à la courbe $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ au point $I$ d’abscisse $0$.

3. b- Montrer que le point $I$ est le seul point d’inflexion de la courbe $\left({\mathcal{C}}_n\right)$.

4. Représenter graphiquement dans le même repère, les deux courbes $\left({\mathcal{C}}_0\right)$ et $\left({\mathcal{C}}_2\right)$.

Pour tout réel $t>0$, on pose $A\left(t\right)$ l’aire du domaine plan limité par $\left({\mathcal{C}}_n\right)$ et les droites d’équations respectives : $y=nx-2$, $x=0$ et $x=t$.

5. a- Calculer $A\left(t\right)$ pour tout$t>0$ .

5. b- Calculer $\underset{t\to +\infty }{\lim }A\left(t\right)$.

Partie 2

On considère la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$ définie par :

$\left\{\begin{array}{l}{u}_0=0\\ \left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) u_{n+1}=f_0\left(u_n\right)\end{array}\right.$

1. a- Montrer que l’équation $f_0\left(x\right)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathrm{ℝ}$.

1. b- Montrer que $\left(\forall x\in \mathrm{ℝ}\right) \left|f_0\text{'}\left(x\right)\right|\le \frac{1}{2}$

2. a- Montrer que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left|u_{n+1}-\alpha \right|\le \frac{1}{2}\left|u_n-\alpha \right|$

2. b- En déduire que $\left(\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}\right) \left|u_n-\alpha \right|\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left|\alpha \right|$.

2. c- Montrer que la suite ${\left(u_n\right)}_{n\ge 0}$ converge vers $\alpha$.

Partie 3

On suppose dans cette partie que $n\ge 2$.

1. a- Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, il existe un unique réel $x_n$ solution de l’équation $f_n\left(x\right)=0$.

1. b- Montrer que pour tout entier $n\ge 2$ : $0<x_n<1$ (On prendra $\frac{2e}{1+e}<1,47$).

2. a- Montrer que pour tout entier $n\ge 2$ : $f_{n+1}\left(x_n\right)>0$.

2. b- En déduire que la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 2}$ est strictement décroissante.

2. c- Montrer que la suite ${\left(x_n\right)}_{n\ge 2}$ est convergente.

3. a- Montrer que pour tout entier $n\ge 2$ : $\frac{1}{n}<x_n<\frac{1}{n}\left(\frac{2e}{1+e}\right)$

3. b- En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$, puis montrer que$\underset{n\to +\infty }{\lim }n{x}_n=1$.

4. a- Montrer que pour tout entier $n\ge 2$, on a $x_n\le x_2$

4. b- En déduire $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(x_n\right)}^n$.

Exercice 2 : Nombres complexes (4 pts)

Soient $a$, $b$ et $c$ trois nombres complexes non nuis tel que $a+b\ne c$.

1. a- Résoudre dans l’ensemble $\mathrm{ℂ}$ l’équation d’inconnue $z$ :

$\left(E\right) : z^2-\left(a+b+c\right)z+c\left(a+b\right)=0$

1. b- Écrire les deux solutions de l’équation $\left(E\right)$ sous forme exponentielle (On suppose dans cette question que $a=i$, $b=e^{i\frac{\mathrm{\pi }}{3}}$ et $c=a—b$).

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $\left(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$.

On considère les trois points $A\left(a\right)$, $B\left(b\right)$ et $C\left(c\right)$ qu’on suppose non alignés.

Soient $P\left(p\right)$ le centre de la rotation d’angle $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ qui transforme $B$ en $A$, et $Q\left(q\right)$ le centre de la rotation d’angle $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ qui transforme $C$ en $A$, et $D\{d)$ le milieu du segment $\left[BC\right]$.

2. a- Montrer que $2p=b+a+\left(a-b\right)i$ et $2q=c+a+\left(c-a\right)i$.

2. b- Calculer $\frac{p-d}{q-d}$.

2. c- En déduire la nature du triangle $PDQ$.

Soient $E$ le symétrique de $B$ par rapport à $P$, et $F$ le symétrique de $C$ par rapport à $Q$, et $K$ le milieu du segment $\left[EF\right]$.

3. a- Montrer que l’affixe de $K$ est $k=a+\frac{i}{2}\left(c-b\right)$

3. b- Montrer que les points $K$, $P$, $Q$ et $D$ sont cocycliques.

Exercice 3 : Arithmétique (4 pts)

Partie 1

On considère dans $\mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation $\left(E\right) : 47x-43y =1$.

1. Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l’équation $\left(E\right)$.

2. Résoudre dans $\mathrm{\mathbb{Z}}\times \mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation $\left(E\right)$.

Partie 2

On considère dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$ l’équation $\left(F\right) : x^{41}\equiv 4 \left[43\right]$.

Soit $x\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ une solution de l’équation $\left(F\right)$.

1. a- Montrer que $x$ et $43$ sont premiers entre eux, en déduire que $x^{42}\equiv 1 \left[43\right]$.

1. b- Montrer que $4x\equiv 1 \left[43\right]$, en déduire que $x\equiv 11 \left[43\right]$.

2. Donner l’ensemble des solutions dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$ de l’équation $\left(F\right)$.

Partie 3

On considère dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$ le système à deux équations suivant $\left(S\right) : \left\{\begin{array}{l}{x}^{41}\equiv 4 \left[43\right]\\ x^{47}\equiv 10 \left[47\right]\end{array}\right.$.

Soit $x$ une solution du système $\left(S\right)$.

1. a- Montrer que $x$ est solution du système $\left(S\text{'}\right) : \left\{\begin{array}{l}x\equiv 11 \left[43\right]\\ x\equiv 10 \left[47\right]\end{array}\right.$.

1. b- En déduire que $x\equiv 527 \left[2021\right]$ (On pourra utiliser la partie 1).

2. Donner l’ensemble des solutions dans $\mathrm{\mathbb{Z}}$ du système $\left(S\right)$.