Séance 10-1-2 : Structures algébriques - Partie 1 (Exercices)

Sommaire

IV- Exercices I

4-1/ Exercice 1-1

4-2/ Exercice 1-2

4-3/ Exercice 1-3

4-4/ Exercice 1-4

IV- Exercices I

4-1/ Exercice 1-1

On munit $\mathrm{ℝ}$ de la loi de composition interne $*$ comme suit : $x*y=xy-3x-3y+12$

1. Déterminer l'élément neutre $e$ dans $\left(\mathrm{ℝ};*\right)$.

2. Déterminer les éléments symétrisables dans $\left(\mathrm{ℝ};*\right)$.

3. Montrer que $]3;+\infty [$ est stable dans $\left(\mathrm{ℝ};*\right)$.

Soit $x\in ]3;+\infty [$ et $x\text{'}$ son symétrique dans $\left(\mathrm{ℝ};*\right)$.

4. A-t-on $x\text{'}\in ]3;+\infty [$ ? Justifier votre réponse.

IV- Exercices I

4-2/ Exercice 1-2

On définit sur l'ensemble des nombres complexes $\mathrm{ℂ}$, la loi de composition interne $T$ définie comme suit :

$zTz\text{'}=z.z\text{'}+i\left(z+z\text{'}\right)-1-i$

On pose : $E=\mathrm{ℂ}-\left\{-i\right\}$

1. Montrer que E est stable dans $\left(E;T\right)$.

2. Montrer que $T$ admet un élément neutre.

3. Montrer que tout élément de $E$ admet un symétrique dans $\left(E;T\right)$.

On considère l'application : $$\begin{gathered} f:\mathrm{ℂ}*\to E \\ z\mapsto f\left(z\right)=z-i \end{gathered}$$

4. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℂ}*;\times \right)$ dans $\left(E;T\right)$.

5. Montrer que $T$ est commutative et associative.

Soit $z\in \mathrm{ℂ}*$

6. Déterminer le symétrique de $f\left(z\right)$ dans $\left(E;T\right)$.

IV- Exercices I

4-3/ Exercice 1-3

Soit $\left(E;.\right)$ un ensemble muni d’une loi multiplicative.

On suppose que la loi $.$ est associative, admet un élément neutre $e$ et tout élément $x$ de $E$ admet un symétrique noté $x^{-1}$.

Soit l’ensemble : $C=\left\{a\in E/\left(\forall x\in E\right) xa=ax\right\}$

1. Vérifier que $C\ne \varnothing$. Dans quel cas $C=E$ ?

2. Montrer que $C$ est une partie stable de $\left(E;.\right)$ et que : $\left(\forall \left(a;b\right)\in C^2\right) a{b}^{-1}\in C$

Soit $a\in E$, et on considère l’application : $$\begin{gathered} f_a:E\to E \\ x\mapsto ax{a}^{-1} \end{gathered}$$

Soit $E\text{'}=\left\{f_a/a\in E\right\}$

3. Montrer que $f_a$ est un isomorphisme de $\left(E;.\right)$ dans $\left(E;.\right)$.

4. Montrer que $\left(E\text{'};\circ \right)$ admet un élément neutre et que $\circ$ est associative et que tout élément de $E\text{'}$ est symétrisable.

Soit $\phi$ l’application définie de $E$ dans $E\text{'}$ par : $\phi \left(a\right)=f_a$

5. Montrer que $\phi$ est un morphisme de $\left(E;.\right)$ dans $\left(E\text{'};\circ \right)$, puis montrer que si $\phi$ est un isomorphisme alors $C=\left\{e\right\}$.

IV- Exercices I

4-4/ Exercice 1-4

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On munit le plan $\mathcal{P}$ d’un repère $\left(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)$.

Pour tout $a\in \mathrm{ℝ}$, on considère l’application $T_a$ définie par :

$$\begin{gathered} T_a:\mathcal{P}\to \mathcal{P} \\ M\left(x;y\right)\mapsto M\text{'}\left(x\text{'};y\text{'}\right) \end{gathered}$$

avec : $x\text{'}=x+a$ et $y\text{'}=y{e}^a$

On considère l’ensemble : $E=\left\{T_a/a\in \mathrm{ℝ}\right\}$

1. Montrer que la composition des applications $« \circ »$ est une loi de composition interne dans $E$.

On considère l’application : $$\begin{gathered} \phi :\mathrm{ℝ}\to E \\ a\mapsto T_a \end{gathered}$$

2. Montrer que $f$ est un isomorphisme de $\left(\mathrm{ℝ};+\right)$ dans $\left(E;\circ \right)$.

3. En déduire l’élément neutre de $\left(E;\circ \right)$.

4. Déterminer ${\left(T_a\right)}^{-1}$ dans $\left(E;\circ \right)$ pour tout $a\in \mathrm{ℝ}$.

Partie B

Soit $T$ une loi de composition interne associative définie sur un ensemble $E$ et $a$ un élément de $E$.

Soit $*$ la loi de composition interne définie sur $E$ par : $\left(\forall \left(x;y\right)\in E\right) x*y=xTaTy$

1. Montrer que la loi $*$ est associative.

2. Montrer que si la loi $T$ est commutative alors la loi $*$ l'est aussi.

On suppose que la loi $T$ est commutative et admet un élément neutre $e$ tel que $e\ne a$ et que $a$ admet un symétrique  dans $\left(E;T\right)$.

3. Montrer que $\left(E;*\right)$ admet un élément neutre.

Soit $x\in E$ et $x\text{'}$ son symétrique dans $\left(E;T\right)$.

4. Établir que $x$ est symétrisable dans $\left(E;*\right)$